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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:17 Fr 04.06.2010 | | Autor: | briddi |
| Aufgabe | Ein Beispiel eines energieerhaltenden mechanischen Systems ist das ungedämpfte Pendel. Die zeitliche Änderung des Auslenkungswinkels [mm] \alpha [/mm] gehorcht dabei der Differentialgleichung [mm] \bruch{d^2 \alpha}{dt^2} [/mm] = [mm] \bruch{ -g}{l}sin \alpha, [/mm] mit der Gravitationsbeschleunigung g und der Fadenlänge l.
(a) Geben Sie das System von Differentialgleichungen 1.Ordnung an, welches das ungedämpfte Pendel beschreibt.
(b) Zeigen Sie anhand des Systems aus (a), dass
(i) eine Ruhelage stabil ist, wenn die potentielle Energie ein Minimum annimmt, und ansonsten instabil ist.
(ii) Die Summe aus potentieller und kinetischer Energie ein erstes Integral des Systems aus (a) darstellt. |
Hallo, ich habe teil (a) gemacht. das System lautet dann: [mm] \bruch{d \alpha}{dt} [/mm] = z und [mm] \bruch{dz}{dt} [/mm] = [mm] \bruch{ -g}{l}sin \alpha
[/mm]
zu b) (i) : es gibt zwei Ruhelagen, bei [mm] (0,\pi) [/mm] und (0,0), wobei die erste instabil ist. Das habe ich auch bereits mit Hilfe von Linearisierung gezeigt. Dies ist genau der fall,wenn die potentielle Energie maximal ist [mm] (\alpha=\pi).
[/mm]
Bei (0,0) kann ich allerdings erstmal keine Aussage über die Stabilität treffen, wenn man das Problem mit Linearisierung lösen will. Als zweite Methode habe ich deshalb versucht eine Lösung über Ljapunovfunktionen anzugeben, habe dabei allerdings noch Probleme. Ich habe mich stark an meine Vorlesung angelehnt,weiss aber am Ende nicht weiter wie man z.B. die Ljapunovfunktion angibt.
Zunächst wird ein erstes integral bestimmt:
[mm] \bruch{dz}{d\alpha} [/mm] = [mm] \bruch{ \bruch{ -g}{l}sin \alpha}{z} [/mm] durch lösen durch Separation ergibt sich:
[mm] \bruch{z^2}{2} [/mm] + [mm] \bruch{ -g}{l}cos \alpha= [/mm] Konstante.
Damit ist [mm] w(\alpha,z)=\bruch{z^2}{2} [/mm] + [mm] \bruch{ -g}{l}cos \alpha [/mm] ein erstes Integral. Das haben wir immer so gemacht, mir ist allerdings nicht so ganz klar was ein erstes integral ist, da mir die definition: "w heisst erstes integral, falls w längs der Lösungen der Gleichung y'=f(x,y) konstant bleibt" nicht viel sagt. Was bedeutet längs der Lösungen?
Danach haben wir mit dem Gradienten geprüft,ob (0,0) ein Extremwert ist (JA ist es) und durch einsetzen in die Hessematrix herausgefunden,dass dort ein Maximum der Funktion w vorliegt. (wozu man das macht,ist mir im moment auch nicht ganz klar)
Anschließend weiss ich nicht weiter, in der Vorlesung kommt an dieser stelle immer eine für mich scheinbar willkürliche Setzung einer Ljapunovfunktion. Wie kommt man auf eine solche? bzw. muss man überhaupt eine Ljapunovfunktion angeben oder reicht für eine Stabilitätsaussage des Gleichgewichtspunktes (0,0) bereits der Nachweis des ersten Integrals?
(ii) Bei dieser Aufgabe weiß ich nicht was ich wie zeigen soll (hängt wohl damit zusammen dass mir der Begriff erstes Integral noch fremd ist)
Ich weiß, dass die potentielle Energie durch: [mm] E_p=mgl(1-cos \alpha) [/mm] und die kinetische Energie durch [mm] E_k=0,5 [/mm] m [mm] (l\alpha)^2 [/mm] gegeben ist.
aber was genau muss man zeigen? bzw. wie?
Ich bin für jede Hilfe dankbar und bedanke mich schon im Voraus
briddi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:33 Fr 04.06.2010 | | Autor: | gfm |
> anzugeben, habe dabei allerdings noch Probleme. Ich habe
> mich stark an meine Vorlesung angelehnt,weiss aber am Ende
> nicht weiter wie man z.B. die Ljapunovfunktion angibt.
Wenn dx/dt=v(x) ein autonomes System ist mit dem kritischen Punkt [mm] x_0 [/mm] ist, dann nennt man eine Ljapunovfunktion eine skalare Funktionen L mit [mm] L(x_0)=0 [/mm] und [mm] x_0 [/mm] ist ein isoliertes Minimum sowie [mm] \nabla L*v\le0 [/mm] (der Punkt soll das Skalarprodukt bedeuten).
> ein erstes Integral. Das haben wir immer so gemacht, mir
> ist allerdings nicht so ganz klar was ein erstes integral
> ist, da mir die definition: "w heisst erstes integral,
> falls w längs der Lösungen der Gleichung y'=f(x,y)
> konstant bleibt" nicht viel sagt. Was bedeutet längs der
> Lösungen?
Ein erstes Integral des obigen autonomen Systems ist eine skalare Funktion E, welche d/dt E(f(t))=0 für jede Lösung f(t) erfüllt. Es gibt also eine "Größe", die sich bei der zeitlichen Entwicklung nicht ändert. [mm] E(f(t))=E_0 [/mm] (konstant). Mit der Kettenregel erhälst Du [mm] [\nabla E*v]|_{x=f(t)}=0.
[/mm]
> Danach haben wir mit dem Gradienten geprüft,ob (0,0) ein
> Extremwert ist (JA ist es) und durch einsetzen in die
> Hessematrix herausgefunden,dass dort ein Maximum der
> Funktion w vorliegt. (wozu man das macht,ist mir im moment
> auch nicht ganz klar)
Das ist der Extremwertkalkül im Mehrdimensionalen.
> Anschließend weiss ich nicht weiter, in der Vorlesung
> kommt an dieser stelle immer eine für mich scheinbar
> willkürliche Setzung einer Ljapunovfunktion. Wie kommt man
> auf eine solche? bzw. muss man überhaupt eine
> Ljapunovfunktion angeben oder reicht für eine
> Stabilitätsaussage des Gleichgewichtspunktes (0,0) bereits
> der Nachweis des ersten Integrals?
Jede Ljapunov-Funktion mit [mm]\nabla L*v=0[/mm] ist ein erstes Integral oder eine Erhaltungsgröße des Systems. Wenn die Erhaltunggröße an [mm] x_0 [/mm] ein isoliertes Minimum hat, ist sie auch eine Ljapunov-Funktion.
>
> (ii) Bei dieser Aufgabe weiß ich nicht was ich wie zeigen
> soll (hängt wohl damit zusammen dass mir der Begriff
> erstes Integral noch fremd ist)
> Ich weiß, dass die potentielle Energie durch:
> [mm]E_p=mgl(1-cos \alpha)[/mm] und die kinetische Energie durch
> [mm]E_k=0,5[/mm] m [mm](l\alpha)^2[/mm] gegeben ist.
> aber was genau muss man zeigen? bzw. wie?
E aufstellen und die Definition für erstes Integral bzw. die Implikation daraus prüfen.
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Fr 04.06.2010 | | Autor: | swetti |
| Aufgabe | | Die Summe aus potentieller Energie [mm] E_{pot}=m*g*l*(1-cos\alpha) [/mm] und kinetischer Energie [mm] E_{kin}=0,5*m(l*(d\alpha/dt))^{2} [/mm] stellt das erste Integral aus a) dar, d.h. [mm] w(\alpha,z)=z^{2}/2-g/l*cos\alpha. [/mm] |
Bei der Formel für [mm] E_{kin} [/mm] ist leider ein Fehler gewesen. So ist esjetzt richtig nach Aufgabenstellung.
zu b (ii) : Mir ist leider überhaupt nicht klar, wie ich nun E, also das erste Integral, bestimmen kann. In a) waren ja zwei Systeme gegeben, sodass wir das E daraus konstruieren konnten. Mit den nun in dieser Teilaufgabe vorliegenden Informationen weiß ich gar nicht, wie ich anfangen soll, denn ich hab ja nur [mm] d\alpha/dt [/mm] und sonst nichts in der Richtung. Und was [mm] d\alpha/dt [/mm] eigentlich ist, wird ja auch gar nicht gesagt. Ich weiß grad leider gar nicht, was und wie ich anfangen soll.
Könnte mir da Jemand ne Hilfestellung geben? Das wär super.
Dankeschön schon mal. Lg swetti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Fr 04.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Die Summe aus potentieller Energie
> [mm]E_{pot}=m*g*l*(1-cos\alpha)[/mm] und kinetischer Energie
> [mm]E_{kin}=0,5*m(l*(d\alpha/dt))^{2}[/mm] stellt das erste Integral
> aus a) dar, d.h. [mm]w(\alpha,z)=z^{2}/2-g/l*cos\alpha.[/mm]
> Bei der Formel für [mm]E_{kin}[/mm] ist leider ein Fehler gewesen.
> So ist esjetzt richtig nach Aufgabenstellung.
> zu b (ii) : Mir ist leider überhaupt nicht klar, wie ich
> nun E, also das erste Integral, bestimmen kann. In a) waren
> ja zwei Systeme gegeben, sodass wir das E daraus
> konstruieren konnten. Mit den nun in dieser Teilaufgabe
> vorliegenden Informationen weiß ich gar nicht, wie ich
> anfangen soll, denn ich hab ja nur [mm]d\alpha/dt[/mm] und sonst
> nichts in der Richtung. Und was [mm]d\alpha/dt[/mm] eigentlich ist,
> wird ja auch gar nicht gesagt. Ich weiß grad leider gar
> nicht, was und wie ich anfangen soll.
> Könnte mir da Jemand ne Hilfestellung geben? Das wär
> super.
> Dankeschön schon mal. Lg swetti
Na, du hast doch die Bewegungsgleichgunen [mm] d/dt(\alpha,z)=v(\alpha,z) [/mm] gegeben. Nun stellst Du [mm] E(\alpha,z) [/mm] = kinetische + potentielle Energie in diesen Variablen auf und prüfst dann, ob [mm] \nabla [/mm] E*v=0 gilt.
LG
gfm
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