endliches ideal < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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moin,
Für eine Hausaufgabe brauche ich gerade folgende Aussage:
| Aufgabe | | Sei $R$ ein Ring (nicht zwingend kommutativ, aber mit $1$) und [mm] $\{0\} \neq [/mm] I$ ein einseitiges Ideal in $R$; oBdA rechtsseitig. Ist [mm] $|R|=\infty$, [/mm] so folgt [mm] $|I|=\infty$ [/mm] |
Ich bin mir nicht wirklich sicher, ob die Aussage gilt.
Haben wir ein $a [mm] \in [/mm] I$, das kein Linksnullteiler ist, so ist $|aR|= [mm] \infty$ [/mm] und da [mm] $aR\subseteq [/mm] I$ gilt, wäre die Aussage damit gezeigt.
Aber was wäre, wenn $I$ nur Nullteiler enthält?
Mir will da leider weder ein Beweis für die Aussage noch ein Gegenbeispiel einfallen, weswegen ich mich über das eine oder das andere freuen würde.
lg
Schadow
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:23 Do 20.12.2012 | | Autor: | hippias |
Deine Vermutung gilt nicht: Sei etwa $R:= [mm] \IZ\times \IZ_{2}$ [/mm] mit komponentenweiser Addition und Multiplikation. $I:= [mm] \{0\}\times \IZ_{2}$ [/mm] is ein endliches Ideal, aber $R$ ist nicht endlich.
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