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endlicher Körper + ZFK: Hilfe für Beweisidee gesucht
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:10 Fr 20.06.2008
Autor: Amande

Aufgabe
Sei  F ein endlicher Körper, [mm] g\in [/mm]  F[X] irreduzibel und grd(g) =n.

zz.: Für jede Wurzel w von f ist L=F(w) schon der Zerfällungskörper von f.

Hallo :-)

Ich sitz gerade an dieser Aufgabe und komm mit meiner Idee nicht weiter:

Beweis:
Sei g oBdA normiert.
Sei W= [mm] \{w_0=w, w_1,...,w_n\} [/mm] die Wurzelmenge von g, also L'=F(W) ein Zerfällungskörper von g.

Da g [mm] \not= [/mm] 0, [mm] g(w_i)= [/mm] 0 (i=0,...,n), g normiert und irreduzibel über F, ist
[mm] g=m_{F,w_i} [/mm] (Minimalpolynom von [mm] w_i [/mm] über F)

Es gilt also für alle [mm] w_i: [/mm]
[mm] [F(w_i):F]=n [/mm]

Im Prinzip muss ich ja jetzt noch zeigen, dass [mm] F(w)=F(w_i)=...=F(w_n) [/mm]
(Und somit L=F(w)=F(W))

Ich hab daran gedacht, dass über die Ordnung endlicher Körper zu machen. Aber eine richtige Idee hab ich leider nicht...

Hat jemand von euch einen Tipp? das wär klasse?

Sonnige Grüße,
A.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
endlicher Körper + ZFK: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:11 Fr 20.06.2008
Autor: statler

Hallo Amande und [willkommenmr]

> Sei  F ein endlicher Körper, [mm]g\in[/mm]  F[X] irreduzibel und
> grd(g) =n.
>  
> zz.: Für jede Wurzel w von f ist L=F(w) schon der
> Zerfällungskörper von f.

> Ich hab daran gedacht, dass über die Ordnung endlicher
> Körper zu machen. Aber eine richtige Idee hab ich leider
> nicht...

Um mal einen Anfang zu finden: Untersuch mal die Abbildung [mm] \phi: [/mm] x [mm] \mapsto x^{p} [/mm] und ihre Potenzen, wobei p die Charakteristik sein soll. Wenn F q = [mm] p^{f} [/mm] Elemente hat, was tut dann [mm] \phi^{f} [/mm] a) auf F und b) mit dem Minimalpolynom? Was sind also die anderen Nullstellen?

Gruß aus HH-Harburg
Dieter


Bezug
                
Bezug
endlicher Körper + ZFK: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:27 Sa 21.06.2008
Autor: Amande

Hallo Dieter!

Danke für deine Hinweise!

[mm] \Phi: [/mm] F [mm] \to [/mm]  F: x [mm] \mapsto x^p [/mm] ist ja der Frobenius-Homomorphismus, da char(F)=p [mm] <\infty [/mm] ist es sogar ein Automorphismus.

Und der Fixkörper
[mm] F_{\Phi}=\{X \in F| X^\Phi = X \} [/mm]
              [mm] =\{X \in F| X^p = X \} [/mm]
              [mm] =\{X \in F| X^p -X = 0 \} [/mm]
              = [mm] \{X \in F| X \mbox{ Wurzel von } X^p -X \in \IF_p[X] \} [/mm]
              = [mm] \IF_p [/mm]   (da in [mm] \IF_p: (X^p-X)=(X-X)^p [/mm] )

Als nächstes betrachte ich
[mm] F_{\Phi^f} =\{X \in F| X^{\Phi^f} = X \} [/mm]
                  = [mm] \{X \in F| X^{p^f} = X \} [/mm]
                  = [mm] \{X \in F| X^{p^f} -X = 0 \} [/mm]
                  = [mm] \{X \in F| X \mbox{ Wurzel von } X^{p^f} -X \in \IF_p[X] \} [/mm]
                  = [mm] \IF_{p^f} [/mm]

Stimmt das so?
Ich muss gestehen, dass ich den Zusammenhang zum Minimalpolynom und den Wurzeln noch nicht sehe...

Sonnige Grüße!
Amande


Bezug
                        
Bezug
endlicher Körper + ZFK: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:01 Mo 23.06.2008
Autor: statler

Guten Morgen!

> [mm]\Phi:[/mm] F [mm]\to[/mm]  F: x [mm]\mapsto x^p[/mm] ist ja der
> Frobenius-Homomorphismus, da char(F)=p [mm]<\infty[/mm] ist es sogar
> ein Automorphismus.

Den Frobenius kennst du also, sehr schön!

> Und der Fixkörper
> [mm]F_{\Phi}=\{X \in F| X^\Phi = X \}[/mm]
>                [mm]=\{X \in F| X^p = X \}[/mm]
>  
>               [mm]=\{X \in F| X^p -X = 0 \}[/mm]
>                =
> [mm]\{X \in F| X \mbox{ Wurzel von } X^p -X \in \IF_p[X] \}[/mm]
> = [mm]\IF_p[/mm]   (da in [mm]\IF_p: (X^p-X)=(X-X)^p[/mm] )
>  
> Als nächstes betrachte ich
>  [mm]F_{\Phi^f} =\{X \in F| X^{\Phi^f} = X \}[/mm]
>                  
>  = [mm]\{X \in F| X^{p^f} = X \}[/mm]
>                    = [mm]\{X \in F| X^{p^f} -X = 0 \}[/mm]
>  
>                   = [mm]\{X \in F| X \mbox{ Wurzel von } X^{p^f} -X \in \IF_p[X] \}[/mm]
> = [mm]\IF_{p^f}[/mm]
>
> Stimmt das so?
>  Ich muss gestehen, dass ich den Zusammenhang zum
> Minimalpolynom und den Wurzeln noch nicht sehe...

Dein [mm] \Phi^{f} [/mm] =: [mm] \varphi [/mm] ist also die Identität auf dem Grundkörper. Was ist dann [mm]\varphi[/mm](g(w))?

Wenn du den Frobenius kennnst, kannst du die anderen Nullstellen sozusagen ausrechnen, d. h. mit Hilfe des Frobenius ausdrücken.

Gruß aus HH-Harburg
Dieter

Bezug
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