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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:47 Di 24.03.2009 | | Autor: | feder |
| Aufgabe | Es sei f ein Polynom dritten Grades aus Q[x].
Unter welchen Bedingungen ist [mm] \IQ[x]/(f) [/mm] ein Körper ? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo !
Ich bräuchte mal einen Denkanstoss.
Was ist genau mit dieser Formulierung " [mm] \IQ[x] [/mm] /(f) " gemeint ?
Ich habe hier z.B.
[mm] \IZ_{2}[x] [/mm] / [mm] (x^{2}+x+1) [/mm] ist ein Körper mit 4 Elementen.
Warum ? Funktioniert das wie z.B. [mm] \IZ/2\IZ, [/mm]
sodass z.B. 4= 2*2 + 0 [mm] \hat=\bar0 [/mm] oder 5 = 2*2 +1 [mm] \hat=\bar1
[/mm]
dann wäre ja z.B.
[mm] x^{2}+x+2 [/mm] = [mm] x^{2}+x+1+ [/mm] 1 [mm] \hat= \bar1
[/mm]
Gebt mir bitte einen Tipp !
Die Lösung zur Aufgabe habe ich hier aber ohne dieses Grundwissen kann ich sie nicht verstehen.
Vielen Dank im vorraus,
Feder
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:03 Di 24.03.2009 | | Autor: | Katla |
Mit $ (f) [mm] \IQ[x]$ [/mm] ist ein Ideal gemeint, also z.B. $ [mm] (x^2+x+1)\IQ[x] [/mm] $ sind alle Polynome mit rationalen Koeffizienten, die durch [mm] $x^2+x+1$ [/mm] teilbar sind.
Bei [mm] $\IZ/2\IZ$ [/mm] wird alles gleich "0", was durch 2 teilbar ist, bei [mm] $\IQ[x]/ (x^2+x+1)$ [/mm] gilt dann [mm] $(x^2+x+1)(x^5+1)+(x^3+3)\cong(x^3+3)$.
[/mm]
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