endliche Menge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:02 Mi 17.05.2006 | | Autor: | AriR |
(frabe zuvor nicht gestellt)
Hey leute, ich soll zeigen: eine Menge A ist kompakt [mm] \gdw [/mm] A endlich.
Mein Problem ist, dass ich die genaue Defintion von endlich nicht mehr finde. Wir arbeiten normal immer mit dem forster doch auch da finde ich nichts.
Hat jemand von euch vielleicht eine exakte formale Definition?
danke und gruß.. Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:14 Mi 17.05.2006 | | Autor: | statler |
Hey du Leut!
> Hey leute, ich soll zeigen: eine Menge A ist kompakt [mm]\gdw[/mm] A
> endlich.
Das ist so wie es dasteht nicht wirklich richtig und deswegen genau genommen total falsch!
Endliche Mengen sind diejenigen, die sich bijektiv auf einen Abschnitt der natürlichen Zahlen abbilden lassen. Vielleicht ist hier 'beschränkt' gemeint? Aber dann ist es auch noch falsch!
Es fehlt nämlich eine Verlautbarung darüber, in welchen topologischen Räumen du unterwegs bist. 'Kompakt' ist ein Begriff der Topologie, in der Kategorie der Mengen gibt es ihn nicht.
> Mein Problem ist, dass ich die genaue Defintion von endlich
> nicht mehr finde. Wir arbeiten normal immer mit dem forster
> doch auch da finde ich nichts.
Klär das bitte mal und meld dich wieder, dann kann es weitergehen.
Gruß aus HH-Hamburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:18 Mi 17.05.2006 | | Autor: | AriR |
ja ok so wie es da steht ist es sicher falsch.. ich hab das jetzt nicht genauer aufgeschrieben, weil es mir mehr auf die def. von endlich ankam. die aufgabe lautete genau:
Sei X ein metr. Raum, dessen Metrik definiert ist durch
d(x,y):= 0 für x=y
1 für [mm] x\not= [/mm] y
Sei A eine Teilmenge von X. Zeigen sie: A ist [mm] kompakt\gdw [/mm] A endlich.
Gruß Ari :)
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Hallo Ari,
diese genauere Aufgabenstellung ändert die bedeutung der aussage doch erheblich.... 
> Sei X ein metr. Raum, dessen Metrik definiert ist durch
>
> d(x,y):= 0 für x=y
> 1 für [mm]x\not=[/mm] y
>
> Sei A eine Teilmenge von X. Zeigen sie: A ist [mm]kompakt\gdw[/mm] A
> endlich.
Was endlich genau bedeutet, weißt du ja jetzt: es gibt eine bijektion zu einer Menge, die die ersten $k$ natürlichen Zahlen enthält, $k$ beliebig.
Zur Lösung der Aufgabe würde ich mir zunächst klarmachen, was es bedeutet, wenn eine folge bezüglich der gegebenen Metrik konvergiert (nämlich was?). Dann kannst du mit der folgenkompaktheit argumentieren.
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Mi 17.05.2006 | | Autor: | AriR |
jo vielen dank schonmal für deinen tip.
ich denke mal für die folgen müsste es heißen, dass sie aber eine bestimmten schranke identisch mit ihrem grenzwert sein müssen oder?
nur leider komme ich damit immer noch nicht weiter :(
hast vielleicht noch einen tip?
danke und gruß.. Ari
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Mi 17.05.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
> ich denke mal für die folgen müsste es heißen, dass sie
> aber eine bestimmten schranke identisch mit ihrem grenzwert
> sein müssen oder?
Genau. Genauer - für ein [mm] \epsilon<1 [/mm] müssen die Folgenglieder identisch sein, falls die Folge konvergieren soll. Das bedeutet ab einem N, das von [mm] \epsilon [/mm] abhängt müssen alle Glieder identisch sein. Dieses N ist bekannt, oder soll bekannt sein, da die Folge konvergiert und es ist [mm] N<\infty.
[/mm]
Gruß,
dormant
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> ich denke mal für die folgen müsste es heißen, dass sie
> aber eine bestimmten schranke identisch mit ihrem grenzwert
> sein müssen oder?
Jep.
> nur leider komme ich damit immer noch nicht weiter :(
> hast vielleicht noch einen tip?
nehmen wir mal die rückrichtung. Die menge ist endlich. Haben wir nun eine folge in dieser menge, muss es ein element geben, dass unendlich oft als folgeglied auftritt (Klar?). damit haben wir schon unsere konvergente teilfolge gefunden! Die menge ist also folgenkompakt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Mi 17.05.2006 | | Autor: | AriR |
echt vielen dank für eure hilfe, nur irgendwie hilft mir das immer noch nicht weiter :'(
ich glaube diesen begriff folgenkompakt hatten wir nicht.
Oder auf jeden fall hatten wir keine hinreichende Bedingung mit folgen für kompakheit.
ist noch ein tip drin? :)
danke und gruß ari
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Mann mann Ari, du machst es einem nicht leicht....
also gut machen wir das ganze mit der klassischen definition der kompaktheit: überdeckungskompaktheit.
Überlege dir vorher erstmal, dass bezüglich der diskreten metrik alle mengen offen sind.
Sei also A kompakt. Zu zeigen ist, dass A endlich ist. Führen wir einen widerspruchsbeweis: angenommen, A ist unendlich. dann kann ich A mit den mengen offen überdecken, die jeweils nur ein element aus A enthalten. es ist klar, dass jede endliche teilmenge dieser überdeckung A nicht überdecken kann. A ist also nicht kompakt. widerspruch.
sei A endlich. sei eine offene überdeckung von A gegeben. ich kann nun zu jedem der elemente von A eine menge der ÜD wählen, die das element enthält. Da es nur endlich viele elemente von A gibt, ist die entstehende teilüberdeckung endlich. fertig!
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Mi 17.05.2006 | | Autor: | AriR |
jo vielen dank. wäre ich leider selber nicht draug gekommen, bei der kompaktheit fehlt mir die routine aber ist leicht und logisch nachzuvollziehen.
vielen vielen dank für eure hilfe..
Gruß Ari :)
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