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| Aufgabe | Sei $k$ ein endlicher Körper mit den Elementen [mm] $x_0=0, x_1, .....,x_n$
[/mm]
Beh.: [mm] $x_1\cdot{}x_2\cdot{}.....\cdot{}x_n=-1$ [/mm] |
Hallo zusammen.
Ich habe eine Frage zu obiger Aufgabe:
Wenn ich mich recht entsinne, ist die Elementeanzahl in einem endlichen Körper $k$ eine Primzahlpotenz, also [mm] $|k|=p^l$ [/mm] für $p$ prim und [mm] $l\in\IN$
[/mm]
Für $l=1$ ist dann [mm] $k\cong\IZ/p\IZ=\{\overline{0},\overline{1},....,\overline{p-1}\}$
[/mm]
Damit wäre [mm] $x_1\cdot{}x_2\cdot{}.....\cdot{}x_n=(p-1)!$
[/mm]
Mit dem Satz von Wilson also [mm] $(p-1)!\equiv [/mm] -1 \ (mod \ p)$
Wenn das stimmt, soweit, so gut, aber tut es das überhaupt, und was mache ich aber für $l>1$, wenn $k$ also [mm] $p^l$ [/mm] Elemente hat ...
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Mo 15.12.2008 | | Autor: | SEcki |
> Wenn das stimmt, soweit, so gut, aber tut es das überhaupt,
> und was mache ich aber für [mm]l>1[/mm], wenn [mm]k[/mm] also [mm]p^l[/mm] Elemente
> hat ...
Eben, der Fall für größere l ist wichtig. Überlege dir mal folgendes: in dem langen Produkt hat ja jedes Element ein Inverses. Kann man die vielleicht wieder in dem Produkt finden? Was kürzt sich dann also alles weg? Und was nicht?
SEcki
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Hallo Eckhard,
danke schonmal, in diese Richtung habe ich natürlich auch schon gedacht.
Je nachdem, ob $p=2$ oder $p>2$ hat $k$ ja geradzahlig viele oder ungeradzahlig viele Elemente.
Für $p=2$ sind in dem Produkt [mm] $x_1\cdot{}...\cdot{}x_n$ [/mm] also ungeradzahlig viele Faktoren, einschließlich der 1, bleiben also Paare von Inversen, das Produkt ergibt also 1, oder?
Für $p>2$ sind in dem Produkt geradzahlig viele Faktoren einschl. 1, also heben sich alle Elemente bis auf eines paarweise "zur 1 auf".
Das Produkt ist also [mm] $x_j$
[/mm]
Aber wie schließe ich in beiden Fällen darauf, dass es $-1$ ist?
Hmm 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 Mo 15.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> Je nachdem, ob [mm]p=2[/mm] oder [mm]p>2[/mm] hat [mm]k[/mm] ja geradzahlig viele oder
> ungeradzahlig viele Elemente.
klar.
> Für [mm]p=2[/mm] sind in dem Produkt [mm]x_1\cdot{}...\cdot{}x_n[/mm] also
> ungeradzahlig viele Faktoren, einschließlich der 1, bleiben
> also Paare von Inversen, das Produkt ergibt also 1, oder?
> Für [mm]p>2[/mm] sind in dem Produkt geradzahlig viele Faktoren
> einschl. 1, also heben sich alle Elemente bis auf eines
> paarweise "zur 1 auf".
So kann man nicht ohne weiteres schließen, denn du scheinst davon auszugehen, dass [mm] $x\ne 1\Rightarrow x\ne x^{-1}$ [/mm] gilt, aber das ist i.A. falsch, betrachte z.B. den Körper [mm] $\IZ/3\IZ$, [/mm] da ist [mm] $2^{-1}=2$. [/mm] Es kann also durchaus selbstinverse Elemente verschieden von 1 geben, und die Argumentation klappt nicht.
Gruß, Robert
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Hallo Robert,
auch dir ein Dankeschön
> > Je nachdem, ob [mm]p=2[/mm] oder [mm]p>2[/mm] hat [mm]k[/mm] ja geradzahlig viele oder
> > ungeradzahlig viele Elemente.
> klar.
>
> > Für [mm]p=2[/mm] sind in dem Produkt [mm]x_1\cdot{}...\cdot{}x_n[/mm] also
> > ungeradzahlig viele Faktoren, einschließlich der 1, bleiben
> > also Paare von Inversen, das Produkt ergibt also 1, oder?
> > Für [mm]p>2[/mm] sind in dem Produkt geradzahlig viele Faktoren
> > einschl. 1, also heben sich alle Elemente bis auf eines
> > paarweise "zur 1 auf".
> So kann man nicht ohne weiteres schließen, denn du
> scheinst davon auszugehen, dass [mm]x\ne 1\Rightarrow x\ne x^{-1}[/mm]
> gilt, aber das ist i.A. falsch, betrachte z.B. den Körper
> [mm]\IZ/3\IZ[/mm], da ist [mm]2^{-1}=2[/mm]. Es kann also durchaus
> selbstinverse Elemente verschieden von 1 geben, und die
> Argumentation klappt nicht.
Da hast du recht, hmm.
Ich geh mal in die Badewanne, vllt. kommt mir da noch ne ![[idee]](/images/smileys/idee.gif "[idee]")
Aber du darfst mich auch gerne in die richtige Argumentationsrichtung schubsen
>
> Gruß, Robert
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Mo 15.12.2008 | | Autor: | fenchel |
Hallo,
Du hast in dem Produkt $ [mm] x_1\cdot x_2\cdot \ldots \cdot x_n$ [/mm] Elemente die selbstinvers sind und Elemente die nicht selbstinvers sind. Da hier ein Körper vorliegt, hast Du einen kommutativen Schiefkörper vor Dir.
D.h. jedes Element [mm] $x_i$, $i=1,\ldots,n$ [/mm] bis auf die 0 ist eine Einheit, also invertierbar, d.h.
[mm] $\forall x_i \in K\setminus \{0\}=K^\star$ $\exists x_j [/mm] $ mit [mm] $x_i \cdot x_j=1$. [/mm] Jetzt gruppierst Du im Produkt die nicht Selbstinversen so, dass sie in Paaren im Produkt stehen und jeweils $1$ ergeben.
Dann musst Du Dir noch überlegen das Selbstinverse die Gleichung [mm] $X^2-1=0$ [/mm] erfüllen. Warum? Wieviele Lösungen (maximal) hat nun eine Gleichung 2. Grades im einem Körper? Die Lösungen dieser Gleichung sind Deine Selbstinversen.
Dann folgerst Du:
$ [mm] x_1\cdot x_2\cdot \ldots \cdot x_n= \text{(1. Selbstinverse)}\cdot \text{(2. Selbstinverse)}\cdot 1\cdot \ldots \cdot [/mm] 1 =-1$
Gruss
fenchel
P.S.: Überlege und begründe noch warum die selbstinversen Elemente im [mm] \underline{Koerper} [/mm] K enthalten sind.
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Hallo fenchel,
besten Dank für die Antwort und die damit verbundene Anregung, das hört sich nach dem heißen Bad richtig gut an!
Danke nochmal und viele Grüße
schachuzipus
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo zusammen,
falls es jemanden interessiert, mir ist da doch noch was alternatives eingefallen ...
$k$ Körper $\Rightarrow k^{\star}=k\setminus\{0\}$
$(k^{\star},\cdot{})$ ist nach VL zyklisch, sei $g$ der Erzeuger, also $k^{\star}=\{g,g^2,....,g^n\}$, wobei $n\in\IN$ minimal ist mit $g^n=1$
Dann ist $\prod\limits_{i=1}^nx_i=\prod\limits_{j=1}^{n}g^j=g^{\sum\limits_{j=1}^{n}j}=g^{\frac{n(n+1)}{2}}$
1.Fall: $|k|=n+1$ gerade $\Rightarrow n$ ungerade
$\Rightarrow g^{\frac{n(n+1)}{2}}=\left(g^n\right)^{\frac{n-1}{2}}=1=-1$, da für $|k|=n+1$ gerade gilt: $char(k)=2$, also $1+1=0\Rightarrow 1=-1$
2.Fall: $|k|=n+1$ ungerade $\Rightarrow n$ gerade
$\Rightarrow g^{\frac{n(n+1)}{2}}=\left(g^{\frac{n}{2}\right)^{n-1}=(-1)^{n-1}=-1$, denn:
$\left(g^{\frac{n}{2}}\right)^2=g^n=1\Rightarrow g^{\frac{n}{2}}=\pm 1\Rightarrow g^{\frac{n}{2}}=-1$, da $n>\frac{n}{2}$ und $n$ minimal mit $g^n=1$
Was meint ihr?
LG
schachuzipus
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