endlich erzeugter Z-Modul < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Wieso ist der Ring der ganzen Zahlen [mm] O_K [/mm] (K über [mm] \IQ [/mm] algebr. Zahlkörper) ein endlich erzeugter Z-Modul?
Wieso kann man dann [mm] O_K [/mm] als [mm] Z[a_1,..,a_n] [/mm] schreiben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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moin,
Als erstes musst du hier aufpassen.
Die Aussagen [mm] $O_K$ [/mm] ist endlich erzeugter [mm] $\IZ-$Modul [/mm] und [mm] $O_K [/mm] = [mm] \IZ[a_1,\ldots [/mm] , [mm] a_n]$ [/mm] für [mm] $a_i \in O_K$ [/mm] geeignet sind nicht dasselbe!
Mit [mm] $\IZ[a_1,\ldots [/mm] , [mm] a_n]$ [/mm] bezeichnet man die von den [mm] $a_i$ [/mm] erzeugte [mm] $\IZ-$Algebra, [/mm] also alle polynominiellen Ausdrücke in den [mm] $a_i$ [/mm] mit Koeffizienten aus [mm] $\IZ$.
[/mm]
Ein [mm] $\IZ-$Modul [/mm] erlaubt hingegen nur lineare Ausdrücke.
Als Beispiel etwa [mm] $\IZ[x]$ [/mm] (der klassische Polynomring in einer Unbekannten); dieser ist als [mm] $\IZ$-Modul [/mm] nicht endlich erzeugbar.
In deinem speziellen Fall sind die Aussagen äquivalent. Das ist allerdings alles andere als leicht ersichtlich und vor allem bei der Tatsache, dass [mm] $\IZ[a_1,\ldots [/mm] , [mm] a_n]$ [/mm] ein endlich erzeugter [mm] $\IZ-$Modul [/mm] ist (wenn [mm] $a_i \in O_K$) [/mm] braucht man schon ein paar kleine Sätzchen und muss einiges zeigen.
Also sag bitte nochmal, welche der beiden Aussagen du gern zeigen würdest. Oder weißt du bereits (mit Beweis zB aus Vorlesung), dass sie äquivalent sind?
Um deine ursprüngliche Frage zu beantworten wären ein paar mehr Infos und ggf. eigene Ansätze ganz gut.
Was weißt du schon über [mm] $O_K$, [/mm] was weißt du allgemein über Ganzheitsringe oder ganze Ringerweiterungen, was hier helfen könnte?
lg
Schadow
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Also ich weiß dass [mm] O_K [/mm] ein Dedekindring ist. Ich wusste auch nicht, dass in diesem Spezialfall die Sachen äquivalent sind. Am liebsten würde ich gerne alles wissen :)
Aber wir können erstmal uns auf die Frage stützen weshalb [mm] O_K [/mm] ein endlich erzeugter Z-Modul ist. Mir fallen ehrlich gesagt keine passende Sätze ein, wieso das so sein sollte. Hast du einen Tip für mich?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:04 Fr 16.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Also ich weiß dass [mm]O_K[/mm] ein Dedekindring ist. Ich wusste
> auch nicht, dass in diesem Spezialfall die Sachen
> äquivalent sind. Am liebsten würde ich gerne alles wissen
> :)
>
> Aber wir können erstmal uns auf die Frage stützen weshalb
> [mm]O_K[/mm] ein endlich erzeugter Z-Modul ist. Mir fallen ehrlich
> gesagt keine passende Sätze ein, wieso das so sein sollte.
> Hast du einen Tip für mich?
Im Neukirch wird das z.B. so gemacht:
sei $L/K$ eine endliche separable Koerpererweiterung, $A [mm] \subseteq [/mm] K$ ein noetherscher Unterring mit $Quot(A) = K$ und $B$ der ganze Abschluss von $A$ in $L$. Du brauchst den Spezialfall $A = [mm] \IZ$, [/mm] $K = [mm] \IQ$ [/mm] und $B = [mm] \mathcal{O}_L$, [/mm] wobei $L$ irgendeine endliche Erweiterung von [mm] $\IQ$ [/mm] ist.
Sei [mm] $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ [/mm] eine $K$-Basis von $L$. Dann gibt es Elemente [mm] $a_1, \dots, a_n \in [/mm] A [mm] \setminus \{ 0 \}$ [/mm] mit [mm] $a_i \alpha_i \in [/mm] B$ (ist nicht so schwer das zu zeigen; betrachte das Minimalpolynom von [mm] $\alpha_i$ [/mm] und bestimme damit das Minimalpolynom von [mm] $a_i \alpha_i$, [/mm] und schon weisst du wie du [mm] $a_i \neq [/mm] 0$ waehlen musst damit [mm] $a_i \alpha_i \in [/mm] B$ ist). Setze [mm] $\beta_i [/mm] := [mm] a_i \alpha_i$.
[/mm]
Dann ist [mm] $\beta_1, \dots, \beta_n$ [/mm] ebenfalls eine $K$-Basis von $L$, die komplett in $B$ enthalten ist. Jetzt kann man folgendes zeigen: ist $d = [mm] d(\beta_1, \dots, \beta_n)$ [/mm] die Diskriminante von [mm] $\beta_1, \dots, \beta_n$, [/mm] so gilt $d B [mm] \subseteq \beta_1 [/mm] A + [mm] \dots [/mm] + [mm] \beta_n [/mm] A$.
Damit ist also $B$ ein Untermodul des endlich erzeugten Moduls $M := [mm] \frac{\beta_1}{d} [/mm] A + [mm] \dots [/mm] + [mm] \frac{\beta_n}{d} [/mm] A$. Ist nun $A$ noethersch, so auch der endlich erzeugte Modulo $M$, womit jeder Untermodul endlich erzeugt ist (als $A$-Modul). Damit aber auch insbesondere der $A$-Untermodul $B$ von $M$.
LG Felix
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