emp. Verteilungsfunktion < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:59 So 29.01.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Ich verstehe nicht, wieso für die empirische Verteilungsfunktion [mm] $\hat{F}$ [/mm] gilt, daß
[mm] $\frac{\sqrt{n}(\hat{F}^{(n)}-F(a))}{\sqrt{F(a)(1-F(a))}}\to \mathcal{N}(0,1)$ [/mm] |
Mir ist schon klar, daß man hier den zentralen Grenzwertsatz benutzt.
Dieser lautet doch
[mm] $\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{\sigma}\to\mathcal{N}(0,1)$
[/mm]
Wenn ich jetzt hier das [mm] $\hat{F}^{(n)}(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\chi_{(-\infty,x]}(X_i)$ [/mm] als das arithmetische Mittel der [mm] $\chi_{(-\infty,x]}(X_i)$ [/mm] betrachte und bedenke, daß die Varianz der emp. Verteilungsfunktion ist
[mm] $\frac{F(x)(1-F(x))}{n}$ [/mm] und der Erwartungswert $F(x)$, so komme ich aber darauf, daß
[mm] $\frac{n(\hat{F}^{(n)}(x)-F(x))}{\sqrt{F(x)(1-F(x))}}\to\mathcal{N}(0,1)$
[/mm]
Ich verstehe daher nicht, wieso da die Wurzel aus n im Zähler steht!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 So 29.01.2012 | | Autor: | dennis2 |
Ach, ich glaube, ich kann es mir selbst beantworten!
Ich muß ja den Erwartungswert bzw. die Standardabweichung der [mm] $\chi_{(-\infty,x]}(X_i)$ [/mm] nehmen und nicht die von dem arithmetischen Mittel!
Also ist natürlich [mm] $\mu=F(x)$ [/mm] und [mm] $\sigma=\sqrt{F(x)(1-F(x)}$, [/mm] da die einzelnen [mm] $\chi_{(-\infty,x]}(X_i)$ [/mm] ja bernouilli-verteilt sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Di 31.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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