einfache Kurvendiskussionen < VK 37: Kurvendiskussionen < Schule < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 |
Gegeben sei die Funktion f mit der Gleichung [mm] f(x)=2x^5-4x^3+2x
[/mm]
a) Wie groß ist der maximale Definitionsbereich?
b) Wie verhält sich die Funktion für x [mm] \to \infty [/mm] und x [mm] \to -\infty?
[/mm]
c) Wo liegen die Nullstellen? Gibt es mehrfache Nullstellen?
d) Bestimmen Sie ausschließlich mit Hilfe der 1. Ableitung das Steigungsverhalten und geben Sie die Extrempunkte an.
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| Aufgabe 2 |
Führen sie für folgende Kurven eine Kurvendiskussion durch:
a) [mm] f(x)=x^3-6x^2-6x
[/mm]
b) [mm] f(x)=-0,1x^3+0,5x^2-0,6x
[/mm]
d) [mm] f(x)=x^3-6x^2+9x-2
[/mm]
d) [mm] f(x)=-x^4+3x^2+4
[/mm]
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Bei Kurvendiskussionen sind zu untersuchen:
Definitionsbereich
Symmetrie
Beschränktheit, asymptotisches Verhalten und stetige Ergänzung
Achsenschnittpunkte
Extremalpunkte und Steigungsverhalten
Wendepunkte und krümmungsverhalten
Skizze
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Aufgabenblatt 2 Aufgabe 1
f(x) = [mm] 2x^5-4x^3+2x
[/mm]
a) maximaler Definitionsbereich D = [mm] [-\infty [/mm] | [mm] +\infty]
[/mm]
b) bei x gegen + unendlich steigt die Kurve im 1.Quadranten steil nach oben (wegen [mm] x^5), [/mm] bei x gegen unendlich sinkt die Kurve im 3.Quadranten ebenso steil nach unten
c) Berechnung der Nullstellen
Es gilt f(x) = 0
0 = [mm] 2x^5-4x^3+2x [/mm] ich versuche den Term zu faktorisieren und klammere 2x aus
0 = [mm] 2x*(x^4-2x^2+1) [/mm] Die Gleichung (ein Produkt) ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist. Somit habe ich schon die 1.Nullstelle. Da 2x = 0 ist, ist x=0. Die Kurve geht also durch den Ursprung [0 | 0]. Dort ist die 1.Nullstelle.
Beim Term in der Klammer, handelt es sich um eine ganzrationale Funktion 4.Grades mit dem variablenfreien Wert am Ende +1. Wir benutzen die Polynomdivision und sucen einen ganzzahligen Teiler x_ von +1, damit wir den Term durch (x-_0) teilen können.
0= [mm] x^4-2x^2+1
[/mm]
Wir probieren ! die 1 aus und teilen
[mm] x^4-2x^2+1 [/mm] (x-1) = [mm] x^3+x^2-x-1
[/mm]
[mm] -(x^4-x^3)
[/mm]
[mm] x^3-2x^2
[/mm]
[mm] -(x^3-x^2)
[/mm]
[mm] -x^2+1
[/mm]
[mm] -(-x^2+x)
[/mm]
1-x
-(1-x)
0
Da die Teilung aufging, haben wir bei x=1 die 2.Nullstelle
Jetzt führen wir beim übrig gebliebenen Term die 2.Polynomdivision durch:
0= [mm] x^3+x^2-x-1 [/mm] erneut versuchen wir es mit [mm] x_0=+1 [/mm] (Faktor [mm] (x-x_0) [/mm] und teilen:
[mm] x^3+x^2-x-1 [/mm] : (x+1) = [mm] x^2+2x+1
[/mm]
[mm] -(x^3-x^2)
[/mm]
[mm] 2x^2-x
[/mm]
[mm] -(2x^2-2x)
[/mm]
x-1
-(x-1)
0
Für [mm] x_0=1 [/mm] haben wir also die 3. in diesem Fall eine doppelte Nullstelle !
Den übrig gebliebenen Term [mm] x^2+2x+1 [/mm] setzen wir gleich Null.
[mm] 0=x^2+2x+1 [/mm] eine quadratische Gleichung, die wir mit der pq-Formel lösen können.
Wir erhalten x=-1 [mm] \pm \wurzel{0} [/mm] = -1 auch dieses ist eine doppelte Nullstelle wegen
[mm] x^2+2x+1 [/mm] = (x+1)*(x+1) oder [mm] (x+1)^2
[/mm]
Die Ausgangsfunktion f(x) können wir nach der Faktorisierung also auch so schreiben:
f(x) = [mm] 2x*(x-1)^2*(x+1)^2 [/mm] die Funktion hat insgesamt 5 Nullstellen, wobei 2 doppelte Nullstellen dabei sind.
d) Steigungsverhalten und Extremalwerte mit Hilfe der 1.Ableitung
Wir benutzen wieder die Schreibweise der Ausgangsfunktion:
[mm] f(x)=2x^5-4x^3+2x [/mm] und leiten ab
[mm] f´(x)=10^4-12x^2+2
[/mm]
wenn wir nun f´(x)=0 setzen sehen wir, dass die Kurve 4 Extrempunkte haben muss, da bei der Ermittlung diese Punkte 2x die Wurzel zu ziehen ist. Auch erkennt man schon, dass bei [0 | 2] ein Sattelpunkt liegen muss, jeweils links du rechts des Sattelpunktes liegen dann 2 Exrempunkte. Jenseits der Extremalpunkte ist der Kurvenverlauf sehr steil !
Berechnung der Extremalpunkte:
f´(x)=0
[mm] 0=10^4-12x^2+2 [/mm] wie schon bei der Nullstellenberechnung der Ausgangsfunktion benutzen wir die Polynomdivision.
Als ersten ganzzahlige Teiler von +2 versuchen wir es mit +1 und teilen den Term durch [mm] (x-x_0)=(x-1):
[/mm]
[mm] 10^4-12x^2+2 [/mm] : [mm] (x-1)=10x^3+10x^2-2x-2
[/mm]
[mm] -(10x^4-10x^3)
[/mm]
[mm] 10x^3-12x^2
[/mm]
[mm] -(10x^3-10x^2)
[/mm]
[mm] -2x^2+2
[/mm]
[mm] -(-2x^2+2x)
[/mm]
-2x+2
-(-2x+2)
0
Da kein Rest bleibt geht die Polynomdivison auf ! Bei x=1 liegt die 1.Nullstelle.
2.Polynomdivision
[mm] 0=10x^3+10x^2-2x-2 [/mm] wir probieren [mm] x_0=-1 [/mm] und teilen durch [mm] (x-x_0)=(x+1):
[/mm]
[mm] 10x^3+10x^2-2x-2 [/mm] : (x+1) = [mm] 10x^2-2
[/mm]
[mm] -(10x^3+10x^2)
[/mm]
0-2x-2
-(-2x-2)
0
Bei x=-1 liegt also die 2.Nullstelle. Wenn wir die 1.Ableitung der Funktion mit den bisher ermittelten Faktoren aufschreiben, erhalten wir:
f´(x)= [mm] (x-1)*(x+1)*(10x^2-2) [/mm] oder [mm] (x^2-1)*(10x^2-2)
[/mm]
Wir suchen jetzt die Nullstellen des zweiten Terms und setzen
[mm] 10x^2-2=0 [/mm] für [mm] x_0 [/mm] erhalten wir nun [mm] \pm \bruch{1}{\wurzel{5}} [/mm] = [mm] \pm\bruch{\wurzel{5}}{5}
[/mm]
Die 1.Ableitung der Funktion lässt sich nach zweimaliger Polynomdivison wie folgt faktorisieren:
f´(x) = [mm] (x-1)*(x+1)*(x+\bruch{\wurzel{5}}{5})*(x-\bruch{\wurzel{5}}{5}), [/mm] d.h.
es gibt 4 Extrem(al)punkte(2 Hoch- und 2 Tiefpunkte)
Aufgabe 2 Kurvendiskussion von 4 Funktionen
[mm] a) f(x)=x^3-6x^2+6x
[/mm]
Definitionsbereich: D= [mm] [-\inty [/mm] | [mm] +\infty] [/mm] wegen [mm] x^3
[/mm]
Symmetrie: Die Kurve geht nach dem Wendepunkt entgegengesetzt weiter, d.h. die Wert sind Minus der Werte vor dem Wendepunkt.
Beschränktheit, asymptotisches Verhalten und stetige Ergänzung: Keine Angaben
Achsenschnittpunkte: f(x)=0 und f(0)
Wir setzen f(x) = 0 und vereinfachen bzw. faktorisieren
0= [mm] x^3-6x^2+6x [/mm] | Ausklammern von x
[mm] 0=x*(x^2-6x+6) [/mm] wir haben bei x=0 die 1.Nullstelle [0 | 0]
Die Klammer rechnen wir mit der pq-Formel und erhalten:
[mm] x_0= 3\pm\wurzel{3} [/mm] dort liegen also 2 weitere Nullstellen [mm] [3+\wurzel{3} [/mm] | 0] und [mm] [3-\wurzel{3} [/mm] | 0]
Die 1.Nullstelle befindet sich im Ursprung, denn dort gilt f(0)=0 (=Schnittpunkt der y-Achse)
Extremalpunkte und Steigungsverhalten:
Bei x<0 sinken die y-Werte im 3.Quadranten stark und gehen gegen [mm] -\infty. [/mm] (liegt an [mm] x^3), [/mm] bei [mm] x>(3+\wurzel{3} [/mm] = Tiefpunkt) steigen die Wert stark an und wachsen im 1.Quadranten gegen [mm] +\infty.
[/mm]
Extremalpunkte: Wir benutzen die 1.Ableitung
f´(x)= [mm] 3x^2-12x+6 [/mm] und setzen f´(x)=0
[mm] 0=3x^2-12x+6 [/mm] | wir klammern 3 aus
[mm] 0=3*(x^2-4x+2) [/mm] nach der pq-Formel erhalten wir für x_12=2 [mm] \pm \wurzel{2}. [/mm] Nun haben wir die beiden Extrempunkte, wobei der Tiefpunkt beim größeren und der Hochpunkt beim kleineren x-Wert liegt.
TP [mm] [2+\wurzel{2} [/mm] | [mm] -4\wurzel{2}-4] [/mm] und HP [mm] [2-\wurzel{2} [/mm] | [mm] 4\wurzel{2}-4]
[/mm]
Wendepunkt und Krümmungsverhalten
Zur Ermittlung des Wendepunktes benutzen wir die 2.Ableitung. f´´(x) muss 0 sein.
f´´(x)=6x-12=0 daraus folgt, dass [mm] x_p=2 [/mm] ist. Nach Einsetzen des Wertes in die Funktion erhält man für WP [2 | -4]
Da Krümmungsverhalten der Kurve kann man wie folgt beschreiben:
Ähnlich wie [mm] f(x)=x^3 [/mm] kommt die Kurve im 3.Quadranten steil nach oben, geht durch den Ursprung und ändert beim Hochpunkt die Richtung nach rechts unten. Sie geht nach dem Wendepunkt nach links und wird nach dem Tiefpunkt steil nach oben in den 1.Quadranten.
Skizze (hier der Graph erzeugt mit Derive):
[mm] b) f(x)=-0.1x^3+0.5x^2-0.6x
[/mm]
Definitionsbereich: [mm] D=[+\infty [/mm] | [mm] -\infty]
[/mm]
Symmetrie: links und rechts vom Wendepunkt sind die y-Werte bis auf das Vorzeichen identisch. Somit ist die Kurve ähnlich wie Aufgabe a) symmetrisch.
Beschränktheit, asymptotisches Verhalten und stetige Ergänzung: Keine Angaben
Achsenschnittpunkte: Es muss gelten f(x)=0 und f(y)=0
[mm] 0=-0.1x^3+0.5x^2-0.6x [/mm] | *-10
[mm] 0=x^3-5x^2+6x [/mm] | x ausklammern
[mm] 0=x*(x^2-5x+6) [/mm] die erste Nullstelle ist bei x=0 im Ursprung [0 | 0]. Hier ist auch der (einzige) Schnittpunkt der y-Achse.
Den Term in der Klammer setzen wir gleich 0 und lösen mit der pq-Formel:
0= [mm] x^2-5x+6 [/mm] daraus folgt
[mm] x_1=2 [/mm] und [mm] x_2=3 [/mm] Dort sind die weiteren Nullstellen. Faktorisiert kann man die Funktion auch schreiben als
f(x)=x*(x-2)*(x-3)
Extremalpunkte und Steigungsverhalten:
Steigung der Kurve für negative x-Werte im 2.Quadranten gegen + [mm] \infty, [/mm] bei steigenden positiven x-Werten im 4.Quadranten gegen - [mm] \infty.
[/mm]
Extremalwerte: 1.Ableitung f´(x)=0
[mm] f(x)=x^3-5x^2+6x
[/mm]
[mm] f´(x)=3x^2-10x+6 [/mm] mit f´(x)=0 folgt
[mm] 0=3x^2-10x+6 [/mm] |:3
[mm] 0=x^2-\bruch{10}{3}x+2 [/mm] Lösung mit pq-Formel ergibt:
[mm] x_12=\bruch{5}{3}\pm\bruch{\wurzel{7}}{3}
[/mm]
Diese x-Werte ergeben in f(x) den Tiefpunkt TP [mm] [\bruch{5}{3}+\bruch{\wurzel{7}}{3} [/mm] | [mm] -\bruch{2}{27}] [/mm] und den Hochpunkt HP [mm] [\bruch{5}{3}-\bruch{\wurzel{7}}{3} [/mm] | [mm] -\bruch{7*\wurzel{7}}{135}- \bruch{2}{27}]
[/mm]
Oder dezimal (zwei Stellen hinter dem Komma):
TP [0.78 | -0.21] und HP [2.54 | 0.06]
Wendepunkte und Krümmungsverhalten:
Die Kurve kommt aus dem 2.Quadranten, geht durch den Ursprung in den 4.Quadraanten, steigt in den 1.Quaranten, bevor sie nach rechts unten in den 4.Quadranten Richtung minus unendlich absinkt
Für den Wendepunkt gilt: f´´(x)=0
f´´(x)=6x-10 ergibt [mm] x=\bruch{5}{3}, [/mm] einesetzt in f(x) ergibt dies den Wendepunkt WP [mm] [\bruch{5}{3} [/mm] | [mm] -\bruch{2}{27}]
[/mm]
Skizze(mit Hilfe von Derive):
[mm] c) f(x)=x^3-6x^2+9x-2
[/mm]
Definitionsbereich: D= [-infty | [mm] +\nfty] [/mm] wegen [mm] x^3
[/mm]
Symmetrie:Die Kurve geht nicht durch den Ursprung ist aber in ihrem Wendepunkt punktsymmetrisch.
Beschränktheit, asymptotisches Verhalten und stetige Ergänzung: Keine Angaben
Achsenschnittpunkte:
Nullstellen bei f(x)=0 und f(y)=0
f(x)=0= [mm] x^3-6x^2+9x-2 [/mm] Polynomdivision durch den Faktor [mm] (x-x_0). x_0 [/mm] ist ganzzahliger Teiler des variablenfreien Summanden.
Probieren ergab für [mm] x_0 [/mm] den Wert 2, somit konnte wie folgt geteilt werden:
[mm] x^3-6x^2+9x-2 [/mm] : (x-2)= [mm] x^2-4x+1
[/mm]
[mm] -(x^3-2x^2)
[/mm]
[mm] -4x^2+9x
[/mm]
[mm] -(-4x^2+8x)
[/mm]
x-2
-(x-2)
0
Die Rechnung ging ohne Rest auf. Die 1.Nullstelle ist also bei x=2.
Der übriggebliebene Term ergab mit Hilfe der pq-Formel die 2. und 3.Nullstelle und konnte in die restlichen Faktoren zerlegt werden.
[mm] x_12=2\pm\wurzel{3}
[/mm]
Die y-Achse wird für x=0 bei -2 geschnitten.
Extremalpunkte und Steigungsverhalten:
Die Kurve kommt aus Richtung [mm] -\infty [/mm] aus dem 3.Quadranten, schneide die y-Achse bei -2, geht kurz in den 4.Quadranten, schneidet die x-Achse bei [mm] x=2-\wurzel{3} [/mm] erreicht im 1.Quadranten den Hochpunkt, dreht nach rechts und schneidet erneut die x-Achse, diesmal beim Wendepunkt bei x=2. Im 4.Quadranten dreht sie nach dem Tiefpunkt nach links oben, schneidet die x-Achse zum3.Mal bei [mm] x=2+\wurzel{3} [/mm] und steigt steil nach oben im 1.Quadranten Richtung [mm] +\infty.
[/mm]
Extremalpunkte: f´(x)=0
[mm] f´(x)=0=3x^2-12x+9 [/mm] | :3
[mm] 0=x^2-4x+3 [/mm] de pq-Formel ergibt [mm] x_1=3 [/mm] und [mm] x_2=1. [/mm] Dies ergibt eingesetzt in f(x) den Tiefpunkt TP [3 | -2] und den Hochpunkt HP [1 | 2]
Wendepunkte: 2.Ableitung gleich Null
f´´(x)=0=6x-12 daraus folgt x=2 und der Wendepunkt WP [2 | 0]
[mm] d) f(x)=-x^4+3x^2+4
[/mm]
Definitionsbereich: D= [mm] [-\infty| +\infty]
[/mm]
Symmetrie: Die Kurve ist achsensymmetrisch (-Achse) beim Sattelpunkt SP [0 | 4]. Dort gilt [mm] f(y)=\pm [/mm] x
Beschränktheit, asymptotisches Verhalten und stetige Ergänzung: keine Angaben
Achsenschnittpunkte:
Nullstellen bei f(x)=0 und f(y)=0
[mm] f(x)=0=-x^4+3x^2+4 [/mm] Polynomdivision durch [mm] (x-x_0) [/mm] für [mm] x_0=2 [/mm] ergibt:
[mm] -x^4+3x^2+4 [/mm] : (x-2)= [mm] -x^3-2x^2-x-2
[/mm]
[mm] -(-x^4+2x^)
[/mm]
[mm] -2x^3+3x^2
[/mm]
[mm] -(-2x^3+4x^2)
[/mm]
[mm] -x^2+4
[/mm]
[mm] -(x^2+2x)
[/mm]
-2x+4
-(-2x+4)
0
Damit haben wir bei x=2 die erste Nullstelle. Zudem dürfte die weitere Polynomdivision aufgehen.
Wir teilen den restlichen Term durch [mm] (x-x_0) [/mm] für [mm] x_0=-2
[/mm]
[mm] -x^3-2x^2-x-2 [/mm] : (x+2)= [mm] -x^2-1
[/mm]
[mm] -(-x^3-2x^2)
[/mm]
0-x-2
-(-x-2)
0
Und haben die 2.Nullstelle bei x=-2
Der übrig gebliebene Term [mm] x^2-1 [/mm] kann nicht ausgerechnet werden ! [mm] (x=\wurzel{-1} [/mm] !?
f(0)=4. d.h. die Kurve schneidet die y-Achse im Sattelpunkt SP [0 | 4].
Extremalpunkte und Steigungsverhalten:
Die Kurve kommt im 3.Quadraten aus [mm] -\nfty [/mm] steil nach ben, schneidet die x-Ache bei x=-2 steigt an bis zum Hochpunkt, dreht nach rechts unten und schneidet die y-Achse im Sattelpunkt SP [0 | 4], steigt im 1.Quadrante bis zum Hochpunkt, dreht dann nach rechts unten, schneidet die x-Achse bei x=2 und verschwindet im 4.Quadranten Richtung [mm] -\infty.
[/mm]
Extremalpunkte:
f´(x)=0
[mm] f`(x)=0=-4x^3+6x [/mm] | -4x ausklammern ergibt
[mm] f´(x)=0=-4x*(x^2-\bruch{3}{2}) [/mm] ergibt einen Extrempunkt bei x=0, und ausgerechnet mit der pq-Formel 2 Extrempunkte bei [mm] x=\wurzel{\bruch{3}{2}} [/mm] und [mm] x=-\wurzel{\bruch{3}{2}}
[/mm]
Wie o.a. liegt bei [0 | 4] ein (tiefliegender) Sattelpunkt vor. Die beiden anderen Extrempunkte sind Hochpunkte mit gleichem y-Wert.
Sie haben die Werte [mm] HP_1 [\wurzel{\bruch{3}{2}} [/mm] | [mm] \bruch{25}{4}] [/mm] und
[mm] HP_2 [-\wurzel{\bruch{3}{2}} [/mm] | [mm] \bruch{25}{4}]
[/mm]
Wendepunkte: 2.Ableitung ist gleich Null f´´(x)=0
[mm] f´´(x)=0=-12x^2+6 [/mm] ergibt für x_12 = [mm] \pm \bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
Es gibt 2 Wendepunkte. Diese lauten
[mm] WP_1[+\bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] | [mm] \bruch{25}{4}] [/mm] und
[mm] WP_2[-\bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] | [mm] \bruch{25}{4}]
[/mm]
Skizze (mit Hilfe von Derive):
Anmerkung:
Zur Frage der Beschränktheit, dem asymptotischen Verhalten und einer stetigen Ergänzung konnte ich keine Angaben machen, da meines Erachtens bei den vorliegenden Funktionen derartige Dinge nicht vorliegen !
Schachschorsch
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> Aufgabenblatt 2 Aufgabe 1
>
> f(x) = [mm]2x^5-4x^3+2x[/mm]
>
> a) maximaler Definitionsbereich D = [mm][-\infty[/mm] | [mm]+\infty][/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") man schreibt dies aber nicht mit [mm] \pm \intfy, [/mm] hier sagt man einfach, der Definitionsbereich D sei [mm] \IR [/mm] also die gesamte Menge der Reellen Zahlen
> b) bei x gegen + unendlich steigt die Kurve im
> 1.Quadranten steil nach oben (wegen [mm]x^5),[/mm] bei x gegen
> unendlich sinkt die Kurve im 3.Quadranten ebenso steil nach
> unten
> c) Berechnung der Nullstellen
>
> Es gilt f(x) = 0
>
> 0 = [mm]2x^5-4x^3+2x[/mm] ich versuche den Term zu
> faktorisieren und klammere 2x aus
>
> 0 = [mm]2x*(x^4-2x^2+1)[/mm] Die Gleichung (ein Produkt) ist gleich
> Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist. Somit habe
> ich schon die 1.Nullstelle. Da 2x = 0 ist, ist x=0. Die
> Kurve geht also durch den Ursprung [0 | 0]. Dort ist die
> 1.Nullstelle.
Hier jedoch ein Typ. Biquadratische GLeichungen der Form [mm] x^4+x^2+c [/mm] löst man allgemein durch Subtitution:
[mm] x^2=u \Rightarrow f(u)=u^2-2u^2+1 [/mm]
Damit hast du sofort eine quadratische Gleichung, die du per pqFormel lösen kannst, hier sogar noch einfacher da binomische Formel:
$ [mm] f(u)=u^2-2u^2+1=(u-1)^2 [/mm] $
NST sind demnach [mm] u_0=1 [/mm] wobei Doppelnullstelle.
Jetzt muss man resubstituieren:
[mm] x^2=u \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x_{1/2}=\pm [/mm] 1
>
> Beim Term in der Klammer, handelt es sich um eine
> ganzrationale Funktion 4.Grades mit dem variablenfreien
> Wert am Ende +1. Wir benutzen die Polynomdivision und sucen
> einen ganzzahligen Teiler x_ von +1, damit wir den Term
> durch (x-_0) teilen können.
>
> 0= [mm]x^4-2x^2+1[/mm]
>
> Wir probieren ! die 1 aus und teilen
>
> [mm]x^4-2x^2+1[/mm] (x-1) = [mm]x^3+x^2-x-1[/mm]
> [mm]-(x^4-x^3)[/mm]
> [mm]x^3-2x^2[/mm]
> [mm]-(x^3-x^2)[/mm]
> [mm]-x^2+1[/mm]
> [mm]-(-x^2+x)[/mm]
> 1-x
> -(1-x)
> 0
> Da die Teilung aufging, haben wir bei x=1 die
> 2.Nullstelle
>
> Jetzt führen wir beim übrig gebliebenen Term die
> 2.Polynomdivision durch:
>
> 0= [mm]x^3+x^2-x-1[/mm] erneut versuchen wir es mit [mm]x_0=+1[/mm]
> (Faktor [mm](x-x_0)[/mm] und teilen:
>
> [mm]x^3+x^2-x-1[/mm] : (x+1) = [mm]x^2+2x+1[/mm]
> [mm]-(x^3-x^2)[/mm]
> [mm]2x^2-x[/mm]
> [mm]-(2x^2-2x)[/mm]
> x-1
> -(x-1)
> 0
> Für [mm]x_0=1[/mm] haben wir also die 3. in diesem Fall eine
> doppelte Nullstelle !
>
> Den übrig gebliebenen Term [mm]x^2+2x+1[/mm] setzen wir gleich
> Null.
>
> [mm]0=x^2+2x+1[/mm] eine quadratische Gleichung, die wir mit der
> pq-Formel lösen können.
>
> Wir erhalten x=-1 [mm]\pm \wurzel{0}[/mm] = -1 auch dieses ist eine
> doppelte Nullstelle wegen
>
> [mm]x^2+2x+1[/mm] = (x+1)*(x+1) oder [mm](x+1)^2[/mm]
>
> Die Ausgangsfunktion f(x) können wir nach der
> Faktorisierung also auch so schreiben:
>
> f(x) = [mm]2x*(x-1)^2*(x+1)^2[/mm] die Funktion hat insgesamt 5
> Nullstellen, wobei 2 doppelte Nullstellen dabei sind.
>
> d) Steigungsverhalten und Extremalwerte mit Hilfe der
> 1.Ableitung
>
> Wir benutzen wieder die Schreibweise der Ausgangsfunktion:
>
> [mm]f(x)=2x^5-4x^3+2x[/mm] und leiten ab
>
> [mm]f´(x)=10x^4-12x^2+2[/mm]
>
> wenn wir nun f´(x)=0 setzen sehen wir, dass die Kurve 4
> Extrempunkte haben muss, da bei der Ermittlung diese Punkte
> 2x die Wurzel zu ziehen ist.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") ich weiß nicht ganz was du meinst, aber sie MUSS nicht 4 Extremstellen haben. Es ist zwar eine Gleichung 4. Grades, die maximal 4 NST besitzt, aber sie muss nicht 4 besitzen (siehe DoppelNST), also die wird zwar doppelt gezählt, fällt aber auf einen Punkt zusammen, womit wir Sattelpunkte hätten
> Auch erkennt man schon, dass
> bei [0 | 2] ein Sattelpunkt liegen muss, jeweils links du
> rechts des Sattelpunktes liegen dann 2 Exrempunkte.
Wie kommst du denn darauf?? Deine Skizze zeigt doch auch keinen Sattelpunkt? Also nein, die Funktion hat keinen Sattelpunkt
> Jenseits der Extremalpunkte ist der Kurvenverlauf sehr
> steil !
>
> Berechnung der Extremalpunkte:
>
> f´(x)=0
>
> [mm]0=10x^4-12x^2+2[/mm] wie schon bei der Nullstellenberechnung der
> Ausgangsfunktion benutzen wir die Polynomdivision.
wie gesagt siehe oben auch hier wäre biquadratischer Lösungsansatz einfacher
> Als ersten ganzzahlige Teiler von +2 versuchen wir es mit
> +1 und teilen den Term durch [mm](x-x_0)=(x-1):[/mm]
>
> [mm]10^4-12x^2+2[/mm] : [mm](x-1)=10x^3+10x^2-2x-2[/mm]
> [mm]-(10x^4-10x^3)[/mm]
> [mm]10x^3-12x^2[/mm]
> [mm]-(10x^3-10x^2)[/mm]
> [mm]-2x^2+2[/mm]
> [mm]-(-2x^2+2x)[/mm]
> -2x+2
> -(-2x+2)
> 0
> Da kein Rest bleibt geht die Polynomdivison auf ! Bei x=1
> liegt die 1.Nullstelle.
>
> 2.Polynomdivision
> [mm]0=10x^3+10x^2-2x-2[/mm] wir probieren [mm]x_0=-1[/mm] und teilen durch
> [mm](x-x_0)=(x+1):[/mm]
> [mm]10x^3+10x^2-2x-2[/mm] : (x+1) = [mm]10x^2-2[/mm]
> [mm]-(10x^3+10x^2)[/mm]
> 0-2x-2
> -(-2x-2)
> 0
> Bei x=-1 liegt also die 2.Nullstelle. Wenn wir die
> 1.Ableitung der Funktion mit den bisher ermittelten
> Faktoren aufschreiben, erhalten wir:
>
> f´(x)= [mm](x-1)*(x+1)*(10x^2-2)[/mm] oder [mm](x^2-1)*(10x^2-2)[/mm]
>
> Wir suchen jetzt die Nullstellen des zweiten Terms und
> setzen
>
> [mm]10x^2-2=0[/mm] für [mm]x_0[/mm] erhalten wir nun [mm]\pm \bruch{1}{\wurzel{5}}[/mm]
> = [mm]\pm\bruch{\wurzel{5}}{5}[/mm]
>
> Die 1.Ableitung der Funktion lässt sich nach zweimaliger
> Polynomdivison wie folgt faktorisieren:
>
> f´(x) =
> [mm](x-1)*(x+1)*(x+\bruch{\wurzel{5}}{5})*(x-\bruch{\wurzel{5}}{5}),[/mm]
> d.h.
>
> es gibt 4 Extrem(al)punkte(2 Hoch- und 2 Tiefpunkte)
schön...
Man könnte jetzt noch die Monotonie untersuchen, das war zum Teil mit der Frage der Steigung gemeint, also f'(x)>0, um zu sehen, wo die Funktion monoton steigend ist aber naja ^^
>
>
> Aufgabe 2 Kurvendiskussion von 4 Funktionen
>
> [mm]a) f(x)=x^3-6x^2+6x[/mm]
>
> Definitionsbereich: D= [mm][-\inty[/mm] | [mm]+\infty][/mm] wegen [mm]x^3[/mm]
>
> Symmetrie: Die Kurve geht nach dem Wendepunkt
> entgegengesetzt weiter, d.h. die Wert sind Minus der Werte
> vor dem Wendepunkt.
>
> Beschränktheit, asymptotisches Verhalten und stetige
> Ergänzung: Keine Angaben
>
> Achsenschnittpunkte: f(x)=0 und f(0)
>
> Wir setzen f(x) = 0 und vereinfachen bzw. faktorisieren
>
> 0= [mm]x^3-6x^2+6x[/mm] | Ausklammern von x
>
> [mm]0=x*(x^2-6x+6)[/mm] wir haben bei x=0 die 1.Nullstelle [0 | 0]
>
> Die Klammer rechnen wir mit der pq-Formel und erhalten:
>
> [mm]x_0= 3\pm\wurzel{3}[/mm] dort liegen also 2 weitere Nullstellen
> [mm][3+\wurzel{3}[/mm] | 0] und [mm][3-\wurzel{3}[/mm] | 0]
>
> Die 1.Nullstelle befindet sich im Ursprung, denn dort gilt
> f(0)=0 (=Schnittpunkt der y-Achse)
>
> Extremalpunkte und Steigungsverhalten:
>
> Bei x<0 sinken die y-Werte im 3.Quadranten stark und gehen
> gegen [mm]-\infty.[/mm] (liegt an [mm]x^3),[/mm] bei [mm]x>(3+\wurzel{3}[/mm] =
> Tiefpunkt) steigen die Wert stark an und wachsen im
> 1.Quadranten gegen [mm]+\infty.[/mm]
>
> Extremalpunkte: Wir benutzen die 1.Ableitung
> f´(x)= [mm]3x^2-12x+6[/mm] und setzen f´(x)=0
>
> [mm]0=3x^2-12x+6[/mm] | wir klammern 3 aus
>
> [mm]0=3*(x^2-4x+2)[/mm] nach der pq-Formel erhalten wir für x_12=2
> [mm]\pm \wurzel{2}.[/mm] Nun haben wir die beiden Extrempunkte,
> wobei der Tiefpunkt beim größeren und der Hochpunkt beim
> kleineren x-Wert liegt.
>
> TP [mm][2+\wurzel{2}[/mm] | [mm]-4\wurzel{2}-4][/mm] und HP [mm][2-\wurzel{2}[/mm] |
> [mm]4\wurzel{2}-4][/mm]
>
> Wendepunkt und Krümmungsverhalten
>
> Zur Ermittlung des Wendepunktes benutzen wir die
> 2.Ableitung. f´´(x) muss 0 sein.
>
> f´´(x)=6x-12=0 daraus folgt, dass [mm]x_p=2[/mm] ist. Nach Einsetzen
> des Wertes in die Funktion erhält man für WP [2 | -4]
>
> Da Krümmungsverhalten der Kurve kann man wie folgt
> beschreiben:
>
> Ähnlich wie [mm]f(x)=x^3[/mm] kommt die Kurve im 3.Quadranten steil
> nach oben, geht durch den Ursprung und ändert beim
> Hochpunkt die Richtung nach rechts unten. Sie geht nach dem
> Wendepunkt nach links und wird nach dem Tiefpunkt steil
> nach oben in den 1.Quadranten.
>
> Skizze (hier der Graph erzeugt mit Derive):
>
>
>
> [mm]b) f(x)=-0.1x^3+0.5x^2-0.6x[/mm]
>
> Definitionsbereich: [mm]D=[+\infty[/mm] | [mm]-\infty][/mm]
>
> Symmetrie: links und rechts vom Wendepunkt sind die y-Werte
> bis auf das Vorzeichen identisch. Somit ist die Kurve
> ähnlich wie Aufgabe a) symmetrisch.
>
> Beschränktheit, asymptotisches Verhalten und stetige
> Ergänzung: Keine Angaben
>
> Achsenschnittpunkte: Es muss gelten f(x)=0 und f(y)=0
>
> [mm]0=-0.1x^3+0.5x^2-0.6x[/mm] | *-10
>
> [mm]0=x^3-5x^2+6x[/mm] | x ausklammern
>
> [mm]0=x*(x^2-5x+6)[/mm] die erste Nullstelle ist bei x=0 im
> Ursprung [0 | 0]. Hier ist auch der (einzige) Schnittpunkt
> der y-Achse.
>
> Den Term in der Klammer setzen wir gleich 0 und lösen mit
> der pq-Formel:
>
> 0= [mm]x^2-5x+6[/mm] daraus folgt
>
> [mm]x_1=2[/mm] und [mm]x_2=3[/mm] Dort sind die weiteren Nullstellen.
> Faktorisiert kann man die Funktion auch schreiben als
>
> f(x)=x*(x-2)*(x-3)
>
> Extremalpunkte und Steigungsverhalten:
>
> Steigung der Kurve für negative x-Werte im 2.Quadranten
> gegen + [mm]\infty,[/mm] bei steigenden positiven x-Werten im
> 4.Quadranten gegen - [mm]\infty.[/mm]
>
> Extremalwerte: 1.Ableitung f´(x)=0
>
> [mm]f(x)=x^3-5x^2+6x[/mm]
>
> [mm]f´(x)=3x^2-10x+6[/mm] mit f´(x)=0 folgt
>
> [mm]0=3x^2-10x+6[/mm] |:3
>
> [mm]0=x^2-\bruch{10}{3}x+2[/mm] Lösung mit pq-Formel ergibt:
>
> [mm]x_12=\bruch{5}{3}\pm\bruch{\wurzel{7}}{3}[/mm]
>
> Diese x-Werte ergeben in f(x) den Tiefpunkt TP
> [mm][\bruch{5}{3}+\bruch{\wurzel{7}}{3}[/mm] | [mm]-\bruch{2}{27}][/mm] und
> den Hochpunkt HP [mm][\bruch{5}{3}-\bruch{\wurzel{7}}{3}[/mm] |
> [mm]-\bruch{7*\wurzel{7}}{135}- \bruch{2}{27}][/mm]
>
> Oder dezimal (zwei Stellen hinter dem Komma):
>
> TP [0.78 | -0.21] und HP [2.54 | 0.06]
> Wendepunkte und Krümmungsverhalten:
>
> Die Kurve kommt aus dem 2.Quadranten, geht durch den
> Ursprung in den 4.Quadraanten, steigt in den 1.Quaranten,
> bevor sie nach rechts unten in den 4.Quadranten Richtung
> minus unendlich absinkt
>
> Für den Wendepunkt gilt: f´´(x)=0
>
> f´´(x)=6x-10 ergibt [mm]x=\bruch{5}{3},[/mm] einesetzt in f(x)
> ergibt dies den Wendepunkt WP [mm][\bruch{5}{3}[/mm] |
> [mm]-\bruch{2}{27}][/mm]
>
> Skizze(mit Hilfe von Derive):
>
>
>
> [mm]c) f(x)=x^3-6x^2+9x-2[/mm]
>
> Definitionsbereich: D= [-infty | [mm]+\nfty][/mm] wegen [mm]x^3[/mm]
>
> Symmetrie:Die Kurve geht nicht durch den Ursprung ist aber
> in ihrem Wendepunkt punktsymmetrisch.
>
> Beschränktheit, asymptotisches Verhalten und stetige
> Ergänzung: Keine Angaben
>
> Achsenschnittpunkte:
> Nullstellen bei f(x)=0 und f(y)=0
>
> f(x)=0= [mm]x^3-6x^2+9x-2[/mm] Polynomdivision durch den Faktor
> [mm](x-x_0). x_0[/mm] ist ganzzahliger Teiler des variablenfreien
> Summanden.
>
> Probieren ergab für [mm]x_0[/mm] den Wert 2, somit konnte wie folgt
> geteilt werden:
>
> [mm]x^3-6x^2+9x-2[/mm] : (x-2)= [mm]x^2-4x+1[/mm]
> [mm]-(x^3-2x^2)[/mm]
> [mm]-4x^2+9x[/mm]
> [mm]-(-4x^2+8x)[/mm]
> x-2
> -(x-2)
> 0
> Die Rechnung ging ohne Rest auf. Die 1.Nullstelle ist also
> bei x=2.
> Der übriggebliebene Term ergab mit Hilfe der pq-Formel die
> 2. und 3.Nullstelle und konnte in die restlichen Faktoren
> zerlegt werden.
>
> [mm]x_12=2\pm\wurzel{3}[/mm]
>
> Die y-Achse wird für x=0 bei -2 geschnitten.
>
> Extremalpunkte und Steigungsverhalten:
>
> Die Kurve kommt aus Richtung [mm]-\infty[/mm] aus dem 3.Quadranten,
> schneide die y-Achse bei -2, geht kurz in den 4.Quadranten,
> schneidet die x-Achse bei [mm]x=2-\wurzel{3}[/mm] erreicht im
> 1.Quadranten den Hochpunkt, dreht nach rechts und schneidet
> erneut die x-Achse, diesmal beim Wendepunkt bei x=2. Im
> 4.Quadranten dreht sie nach dem Tiefpunkt nach links oben,
> schneidet die x-Achse zum3.Mal bei [mm]x=2+\wurzel{3}[/mm] und
> steigt steil nach oben im 1.Quadranten Richtung [mm]+\infty.[/mm]
>
> Extremalpunkte: f´(x)=0
>
> [mm]f´(x)=0=3x^2-12x+9[/mm] | :3
>
> [mm]0=x^2-4x+3[/mm] de pq-Formel ergibt [mm]x_1=3[/mm] und [mm]x_2=1.[/mm] Dies
> ergibt eingesetzt in f(x) den Tiefpunkt TP [3 | -2] und den
> Hochpunkt HP [1 | 2]
>
> Wendepunkte: 2.Ableitung gleich Null
>
> f´´(x)=0=6x-12 daraus folgt x=2 und der Wendepunkt WP [2 |
> 0]
>
> [mm]d) f(x)=-x^4+3x^2+4[/mm]
>
> Definitionsbereich: D= [mm][-\infty| +\infty][/mm]
>
> Symmetrie: Die Kurve ist achsensymmetrisch (-Achse) beim
> Sattelpunkt SP [0 | 4]. Dort gilt [mm]f(y)=\pm[/mm] x
>
> Beschränktheit, asymptotisches Verhalten und stetige
> Ergänzung: keine Angaben
>
> Achsenschnittpunkte:
>
> Nullstellen bei f(x)=0 und f(y)=0
>
> [mm]f(x)=0=-x^4+3x^2+4[/mm] Polynomdivision durch [mm](x-x_0)[/mm] für [mm]x_0=2[/mm]
> ergibt:
>
> [mm]-x^4+3x^2+4[/mm] : (x-2)= [mm]-x^3-2x^2-x-2[/mm]
> [mm]-(-x^4+2x^)[/mm]
> [mm]-2x^3+3x^2[/mm]
> [mm]-(-2x^3+4x^2)[/mm]
> [mm]-x^2+4[/mm]
> [mm]-(x^2+2x)[/mm]
> -2x+4
> -(-2x+4)
> 0
> Damit haben wir bei x=2 die erste Nullstelle. Zudem dürfte
> die weitere Polynomdivision aufgehen.
>
> Wir teilen den restlichen Term durch [mm](x-x_0)[/mm] für [mm]x_0=-2[/mm]
>
> [mm]-x^3-2x^2-x-2[/mm] : (x+2)= [mm]-x^2-1[/mm]
> [mm]-(-x^3-2x^2)[/mm]
> 0-x-2
> -(-x-2)
> 0
> Und haben die 2.Nullstelle bei x=-2
>
> Der übrig gebliebene Term [mm]x^2-1[/mm] kann nicht ausgerechnet
> werden ! [mm](x=\wurzel{-1}[/mm] !?
>
> f(0)=4. d.h. die Kurve schneidet die y-Achse im Sattelpunkt
> SP [0 | 4].
>
> Extremalpunkte und Steigungsverhalten:
>
> Die Kurve kommt im 3.Quadraten aus [mm]-\nfty[/mm] steil nach ben,
> schneidet die x-Ache bei x=-2 steigt an bis zum Hochpunkt,
> dreht nach rechts unten und schneidet die y-Achse im
> Sattelpunkt SP [0 | 4], steigt im 1.Quadrante bis zum
> Hochpunkt, dreht dann nach rechts unten, schneidet die
> x-Achse bei x=2 und verschwindet im 4.Quadranten Richtung
> [mm]-\infty.[/mm]
>
> Extremalpunkte:
>
> f´(x)=0
>
> [mm]f'(x)=0=-4x^3+6x[/mm] | -4x ausklammern ergibt
>
> [mm]f´(x)=0=-4x*(x^2-\bruch{3}{2})[/mm] ergibt einen Extrempunkt bei
> x=0, und ausgerechnet mit der pq-Formel 2 Extrempunkte bei
> [mm]x=\wurzel{\bruch{3}{2}}[/mm] und [mm]x=-\wurzel{\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> Wie o.a. liegt bei [0 | 4] ein (tiefliegender) Sattelpunkt
> vor. Die beiden anderen Extrempunkte sind Hochpunkte mit
> gleichem y-Wert.
> Sie haben die Werte [mm]HP_1 [\wurzel{\bruch{3}{2}}[/mm] |
> [mm]\bruch{25}{4}][/mm] und
> [mm]HP_2 [-\wurzel{\bruch{3}{2}}[/mm] | [mm]\bruch{25}{4}][/mm]
> Wendepunkte: 2.Ableitung ist gleich Null f´´(x)=0
>
> [mm]f´´(x)=0=-12x^2+6[/mm] ergibt für x_12 = [mm]\pm \bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
>
> Es gibt 2 Wendepunkte. Diese lauten
>
> [mm]WP_1[+\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] | [mm]\bruch{25}{4}][/mm] und
>
> [mm]WP_2[-\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] | [mm]\bruch{25}{4}][/mm]
>
> Skizze (mit Hilfe von Derive):
>
>
> Anmerkung:
>
> Zur Frage der Beschränktheit, dem asymptotischen Verhalten
> und einer stetigen Ergänzung konnte ich keine Angaben
> machen, da meines Erachtens bei den vorliegenden Funktionen
> derartige Dinge nicht vorliegen !
>
> Schachschorsch
>
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Aufgabenblatt 2 Aufgabe 1
f(x) = [mm] 2x^5-4x^3+2x
[/mm]
a) maximaler Definitionsbereich D = [mm] [-\infty [/mm] | [mm] +\infty]
[/mm]
b) bei x gegen + unendlich steigt die Kurve im 1.Quadranten steil nach oben (wegen [mm] x^5), [/mm] bei x gegen unendlich sinkt die Kurve im 3.Quadranten ebenso steil nach unten
c) Berechnung der Nullstellen
Es gilt f(x) = 0
0 = [mm] 2x^5-4x^3+2x [/mm] ich versuche den Term zu faktorisieren und klammere 2x aus
0 = [mm] 2x*(x^4-2x^2+1) [/mm] Die Gleichung (ein Produkt) ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist. Somit habe ich schon die 1.Nullstelle. Da 2x = 0 ist, ist x=0. Die Kurve geht also durch den Ursprung [0 | 0]. Dort ist die 1.Nullstelle.
Beim Term in der Klammer, handelt es sich um eine ganzrationale Funktion 4.Grades mit dem variablenfreien Wert am Ende +1. Wir benutzen die Polynomdivision und sucen einen ganzzahligen Teiler x_ von +1, damit wir den Term durch (x-_0) teilen können.
0= [mm] x^4-2x^2+1
[/mm]
Wir probieren ! die 1 aus und teilen
[mm] (x^4-2x^2+1) [/mm] : (x-1) = [mm] x^3+x^2-x-1
[/mm]
[mm] -(x^4-x^3)
[/mm]
[mm] x^3-2x^2
[/mm]
[mm] -(x^3-x^2)
[/mm]
[mm] -x^2+1
[/mm]
[mm] -(-x^2+x)
[/mm]
1-x
-(1-x)
0
Da die Teilung aufging, haben wir bei x=1 die 2.Nullstelle
Jetzt führen wir beim übrig gebliebenen Term die 2.Polynomdivision durch:
0= [mm] x^3+x^2-x-1 [/mm] erneut versuchen wir es mit [mm] x_0=+1 [/mm] (Faktor [mm] (x-x_0) [/mm] und teilen:
[mm] (x^3+x^2-x-1) [/mm] : (x+1) = [mm] x^2+2x+1
[/mm]
[mm] -(x^3-x^2)
[/mm]
[mm] 2x^2-x
[/mm]
[mm] -(2x^2-2x)
[/mm]
x-1
-(x-1)
0
Für [mm] x_0=1 [/mm] haben wir also die 3. in diesem Fall eine doppelte Nullstelle !
Den übrig gebliebenen Term [mm] x^2+2x+1 [/mm] setzen wir gleich Null.
[mm] 0=x^2+2x+1 [/mm] eine quadratische Gleichung, die wir mit der pq-Formel lösen können.
Wir erhalten x=-1 [mm] \pm \wurzel{0} [/mm] = -1 auch dieses ist eine doppelte Nullstelle wegen
[mm] x^2+2x+1 [/mm] = (x+1)*(x+1) oder [mm] (x+1)^2
[/mm]
Die Ausgangsfunktion f(x) können wir nach der Faktorisierung also auch so schreiben:
f(x) = [mm] 2x*(x-1)^2*(x+1)^2 [/mm] die Funktion hat insgesamt 5 Nullstellen, wobei 2 doppelte Nullstellen dabei sind.
d) Steigungsverhalten und Extremalwerte mit Hilfe der 1.Ableitung
Wir benutzen wieder die Schreibweise der Ausgangsfunktion:
[mm] f(x)=2x^5-4x^3+2x [/mm] und leiten ab
[mm] f´(x)=10^4-12x^2+2
[/mm]
wenn wir nun f´(x)=0 setzen sehen wir, dass die Kurve 4 Extrempunkte haben muss, da bei der Ermittlung diese Punkte 2x die Wurzel zu ziehen ist. Auch erkennt man schon, dass bei [0 | 2] ein Sattelpunkt liegen muss, jeweils links du rechts des Sattelpunktes liegen dann 2 Exrempunkte. Jenseits der Extremalpunkte ist der Kurvenverlauf sehr steil !
Berechnung der Extremalpunkte:
f´(x)=0
[mm] 0=10^4-12x^2+2 [/mm] wie schon bei der Nullstellenberechnung der Ausgangsfunktion benutzen wir die Polynomdivision.
Als ersten ganzzahlige Teiler von +2 versuchen wir es mit +1 und teilen den Term durch [mm] (x-x_0)=(x-1):
[/mm]
[mm] (10^4-12x^2+2) [/mm] : [mm] (x-1)=10x^3+10x^2-2x-2
[/mm]
[mm] -(10x^4-10x^3)
[/mm]
[mm] 10x^3-12x^2
[/mm]
[mm] -(10x^3-10x^2)
[/mm]
[mm] -2x^2+2
[/mm]
[mm] -(-2x^2+2x)
[/mm]
-2x+2
-(-2x+2)
0
Da kein Rest bleibt geht die Polynomdivison auf ! Bei x=1 liegt die 1.Nullstelle.
2.Polynomdivision
[mm] 0=10x^3+10x^2-2x-2 [/mm] wir probieren [mm] x_0=-1 [/mm] und teilen durch [mm] (x-x_0)=(x+1):
[/mm]
[mm] (10x^3+10x^2-2x-2) [/mm] : (x+1) = [mm] 10x^2-2
[/mm]
[mm] -(10x^3+10x^2)
[/mm]
0-2x-2
-(-2x-2)
0
Bei x=-1 liegt also die 2.Nullstelle. Wenn wir die 1.Ableitung der Funktion mit den bisher ermittelten Faktoren aufschreiben, erhalten wir:
f´(x)= [mm] (x-1)*(x+1)*(10x^2-2) [/mm] oder [mm] (x^2-1)*(10x^2-2)
[/mm]
Wir suchen jetzt die Nullstellen des zweiten Terms und setzen
[mm] 10x^2-2=0 [/mm] für [mm] x_0 [/mm] erhalten wir nun [mm] \pm \bruch{1}{\wurzel{5}} [/mm] = [mm] \pm\bruch{\wurzel{5}}{5}
[/mm]
Die 1.Ableitung der Funktion lässt sich nach zweimaliger Polynomdivison wie folgt faktorisieren:
f´(x) = [mm] (x-1)*(x+1)*(x+\bruch{\wurzel{5}}{5})*(x-\bruch{\wurzel{5}}{5}), [/mm] d.h.
es gibt 4 Extrem(al)punkte(2 Hoch- und 2 Tiefpunkte)
Aufgabe 2 Kurvendiskussion von 4 Funktionen
[mm] a) f(x)=x^3-6x^2+6x
[/mm]
Definitionsbereich: D= [mm] [-\inty [/mm] | [mm] +\infty] [/mm] wegen [mm] x^3
[/mm]
Symmetrie: Die Kurve geht nach dem Wendepunkt entgegengesetzt weiter, d.h. die Werte sind Minus der Werte vor dem Wendepunkt.
Beschränktheit, asymptotisches Verhalten und stetige Ergänzung: Keine Angaben
Achsenschnittpunkte: f(x)=0 und f(0)
Wir setzen f(x) = 0 und vereinfachen bzw. faktorisieren
0= [mm] x^3-6x^2+6x [/mm] | Ausklammern von x
[mm] 0=x*(x^2-6x+6) [/mm] wir haben bei x=0 die 1.Nullstelle [0 | 0]
Die Klammer rechnen wir mit der pq-Formel und erhalten:
[mm] x_0= 3\pm\wurzel{3} [/mm] dort liegen also 2 weitere Nullstellen [mm] [3+\wurzel{3} [/mm] | 0] und [mm] [3-\wurzel{3} [/mm] | 0]
Die 1.Nullstelle befindet sich im Ursprung, denn dort gilt f(0)=0 (=Schnittpunkt der y-Achse)
Extremalpunkte und Steigungsverhalten:
Bei x<0 sinken die y-Werte im 3.Quadranten stark und gehen gegen [mm] -\infty. [/mm] (liegt an [mm] x^3), [/mm] bei [mm] x>(3+\wurzel{3} [/mm] = Tiefpunkt) steigen die Wert stark an und wachsen im 1.Quadranten gegen [mm] +\infty.
[/mm]
Extremalpunkte: Wir benutzen die 1.Ableitung
f´(x)= [mm] 3x^2-12x+6 [/mm] und setzen f´(x)=0
[mm] 0=3x^2-12x+6 [/mm] | wir klammern 3 aus
[mm] 0=3*(x^2-4x+2) [/mm] nach der pq-Formel erhalten wir für x_12=2 [mm] \pm \wurzel{2}. [/mm] Nun haben wir die beiden Extrempunkte, wobei der Tiefpunkt beim größeren und der Hochpunkt beim kleineren x-Wert liegt.
TP [mm] [2+\wurzel{2} [/mm] | [mm] -4\wurzel{2}-4] [/mm] und HP [mm] [2-\wurzel{2} [/mm] | [mm] 4\wurzel{2}-4]
[/mm]
Wendepunkt und Krümmungsverhalten
Zur Ermittlung des Wendepunktes benutzen wir die 2.Ableitung. f´´(x) muss 0 sein.
f´´(x)=6x-12=0 daraus folgt, dass [mm] x_p=2 [/mm] ist. Nach Einsetzen des Wertes in die Funktion erhält man für WP [2 | -4]
Da Krümmungsverhalten der Kurve kann man wie folgt beschreiben:
Ähnlich wie [mm] f(x)=x^3 [/mm] kommt die Kurve im 3.Quadranten steil nach oben, geht durch den Ursprung und ändert beim Hochpunkt die Richtung nach rechts unten. Sie geht nach dem Wendepunkt nach links und wird nach dem Tiefpunkt steil nach oben in den 1.Quadranten.
Skizze (hier der Graph erzeugt mit Derive):
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] b) f(x)=-0.1x^3+0.5x^2-0.6x
[/mm]
Definitionsbereich: [mm] D=[+\infty [/mm] | [mm] -\infty]
[/mm]
Symmetrie: links und rechts vom Wendepunkt sind die y-Werte bis auf das Vorzeichen identisch. Somit ist die Kurve ähnlich wie Aufgabe a) symmetrisch.
Beschränktheit, asymptotisches Verhalten und stetige Ergänzung: Keine Angaben
Achsenschnittpunkte: Es muss gelten f(x)=0 und f(y)=0
[mm] 0=-0.1x^3+0.5x^2-0.6x [/mm] | *-10
[mm] 0=x^3-5x^2+6x [/mm] | x ausklammern
[mm] 0=x*(x^2-5x+6) [/mm] die erste Nullstelle ist bei x=0 im Ursprung [0 | 0]. Hier ist auch der (einzige) Schnittpunkt der y-Achse.
Den Term in der Klammer setzen wir gleich 0 und lösen mit der pq-Formel:
0= [mm] x^2-5x+6 [/mm] daraus folgt
[mm] x_1=2 [/mm] und [mm] x_2=3 [/mm] Dort sind die weiteren Nullstellen. Faktorisiert kann man die Funktion auch schreiben als
f(x)=x*(x-2)*(x-3)
Extremalpunkte und Steigungsverhalten:
Steigung der Kurve für negative x-Werte im 2.Quadranten gegen + [mm] \infty, [/mm] bei steigenden positiven x-Werten im 4.Quadranten gegen - [mm] \infty.
[/mm]
Extremalwerte: 1.Ableitung f´(x)=0
[mm] f(x)=x^3-5x^2+6x
[/mm]
[mm] f´(x)=3x^2-10x+6 [/mm] mit f´(x)=0 folgt
[mm] 0=3x^2-10x+6 [/mm] |:3
[mm] 0=x^2-\bruch{10}{3}x+2 [/mm] Lösung mit pq-Formel ergibt:
[mm] x_12=\bruch{5}{3}\pm\bruch{\wurzel{7}}{3}
[/mm]
Diese x-Werte ergeben in f(x) den Tiefpunkt TP [mm] [\bruch{5}{3}+\bruch{\wurzel{7}}{3} [/mm] | [mm] -\bruch{2}{27}] [/mm] und den Hochpunkt HP [mm] [\bruch{5}{3}-\bruch{\wurzel{7}}{3} [/mm] | [mm] -\bruch{7*\wurzel{7}}{135}- \bruch{2}{27}]
[/mm]
Oder dezimal (zwei Stellen hinter dem Komma):
TP [0.78 | -0.21] und HP [2.54 | 0.06]
Wendepunkte und Krümmungsverhalten:
Die Kurve kommt aus dem 2.Quadranten, geht durch den Ursprung in den 4.Quadraanten, steigt in den 1.Quaranten, bevor sie nach rechts unten in den 4.Quadranten Richtung minus unendlich absinkt
Für den Wendepunkt gilt: f´´(x)=0
f´´(x)=6x-10 ergibt [mm] x=\bruch{5}{3}, [/mm] einesetzt in f(x) ergibt dies den Wendepunkt WP [mm] [\bruch{5}{3} [/mm] | [mm] -\bruch{2}{27}]
[/mm]
Skizze(mit Hilfe von Derive):
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] c) f(x)=x^3-6x^2+9x-2
[/mm]
Definitionsbereich: D= [-infty | [mm] +\nfty] [/mm] wegen [mm] x^3
[/mm]
Symmetrie:Die Kurve geht nicht durch den Ursprung ist aber in ihrem Wendepunkt punktsymmetrisch.
Beschränktheit, asymptotisches Verhalten und stetige Ergänzung: Keine Angaben
Achsenschnittpunkte:
Nullstellen bei f(x)=0 und f(y)=0
f(x)=0= [mm] x^3-6x^2+9x-2 [/mm] Polynomdivision durch den Faktor [mm] (x-x_0). x_0 [/mm] ist ganzzahliger Teiler des variablenfreien Summanden.
Probieren ergab für [mm] x_0 [/mm] den Wert 2, somit konnte wie folgt geteilt werden:
[mm] (x^3-6x^2+9x-2) [/mm] : (x-2)= [mm] x^2-4x+1
[/mm]
[mm] -(x^3-2x^2)
[/mm]
[mm] -4x^2+9x
[/mm]
[mm] -(-4x^2+8x)
[/mm]
x-2
-(x-2)
0
Die Rechnung ging ohne Rest auf. Die 1.Nullstelle ist also bei x=2.
Der übriggebliebene Term ergab mit Hilfe der pq-Formel die 2. und 3.Nullstelle und konnte in die restlichen Faktoren zerlegt werden.
[mm] x_12=2\pm\wurzel{3}
[/mm]
Die y-Achse wird für x=0 bei -2 geschnitten.
Extremalpunkte und Steigungsverhalten:
Die Kurve kommt aus Richtung [mm] -\infty [/mm] aus dem 3.Quadranten, schneidet die y-Achse bei -2, geht kurz in den 4.Quadranten, schneidet die x-Achse bei [mm] x=2-\wurzel{3} [/mm] erreicht im 1.Quadranten den Hochpunkt, dreht nach rechts und schneidet erneut die x-Achse, diesmal beim Wendepunkt bei x=2. Im 4.Quadranten dreht sie nach dem Tiefpunkt nach links oben, schneidet die x-Achse zum3.Mal bei [mm] x=2+\wurzel{3} [/mm] und steigt steil nach oben im 1.Quadranten Richtung [mm] +\infty.
[/mm]
Extremalpunkte: f´(x)=0
[mm] f´(x)=0=3x^2-12x+9 [/mm] | :3
[mm] 0=x^2-4x+3 [/mm] die pq-Formel ergibt [mm] x_1=3 [/mm] und [mm] x_2=1. [/mm] Dies ergibt eingesetzt in f(x) den Tiefpunkt TP [3 | -2] und den Hochpunkt HP [1 | 2]
Wendepunkte: 2.Ableitung gleich Null
f´´(x)=0=6x-12 daraus folgt x=2 und der Wendepunkt WP [2 | 0]
Skizze (mit Hilfe von Derive):
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] d) f(x)=-x^4+3x^2+4
[/mm]
Definitionsbereich: D= [mm] [-\infty| +\infty]
[/mm]
Symmetrie: Die Kurve ist achsensymmetrisch (-Achse) beim Sattelpunkt SP [0 | 4]. Dort gilt [mm] f(y)=\pm [/mm] x
Beschränktheit, asymptotisches Verhalten und stetige Ergänzung: keine Angaben
Achsenschnittpunkte:
Nullstellen bei f(x)=0 und f(y)=0
[mm] f(x)=0=-x^4+3x^2+4 [/mm] Polynomdivision durch [mm] (x-x_0) [/mm] für [mm] x_0=2 [/mm] ergibt:
[mm] (-x^4+3x^2+4) [/mm] : (x-2)= [mm] -x^3-2x^2-x-2
[/mm]
[mm] -(-x^4+2x^)
[/mm]
[mm] -2x^3+3x^2
[/mm]
[mm] -(-2x^3+4x^2)
[/mm]
[mm] -x^2+4
[/mm]
[mm] -(x^2+2x)
[/mm]
-2x+4
-(-2x+4)
0
Damit haben wir bei x=2 die erste Nullstelle. Zudem dürfte die weitere Polynomdivision aufgehen.
Wir teilen den restlichen Term durch [mm] (x-x_0) [/mm] für [mm] x_0=-2
[/mm]
[mm] (-x^3-2x^2-x-2) [/mm] : (x+2)= [mm] -x^2-1
[/mm]
[mm] -(-x^3-2x^2)
[/mm]
0-x-2
-(-x-2)
0
Und haben die 2.Nullstelle bei x=-2
Der übrig gebliebene Term [mm] x^2-1 [/mm] kann nicht ausgerechnet werden ! [mm] (x=\wurzel{-1} [/mm] !?
f(0)=4. d.h. die Kurve schneidet die y-Achse im Sattelpunkt SP [0 | 4].
Extremalpunkte und Steigungsverhalten:
Die Kurve kommt im 3.Quadraten aus [mm] -\nfty [/mm] steil nach oben, schneidet die x-Ache bei x=-2 steigt an bis zum Hochpunkt, dreht nach rechts unten und schneidet die y-Achse im Sattelpunkt SP [0 | 4], steigt im 1.Quadranten bis zum Hochpunkt, dreht dann nach rechts unten, schneidet die x-Achse bei x=2 und verschwindet im 4.Quadranten Richtung [mm] -\infty.
[/mm]
Extremalpunkte:
f´(x)=0
[mm] f'(x)=0=-4x^3+6x [/mm] | -4x ausklammern ergibt
[mm] f´(x)=0=-4x*(x^2-\bruch{3}{2}) [/mm] ergibt einen Extrempunkt bei x=0, und ausgerechnet mit der pq-Formel 2 Extrempunkte bei [mm] x=\wurzel{\bruch{3}{2}} [/mm] und [mm] x=-\wurzel{\bruch{3}{2}}
[/mm]
Wie o.a. liegt bei [0 | 4] ein (tiefliegender) Sattelpunkt vor. Die beiden anderen Extrempunkte sind Hochpunkte mit gleichem y-Wert.
Sie haben die Werte [mm] HP_1 [\wurzel{\bruch{3}{2}} [/mm] | [mm] \bruch{25}{4}] [/mm] und
[mm] HP_2 [-\wurzel{\bruch{3}{2}} [/mm] | [mm] \bruch{25}{4}]
[/mm]
Wendepunkte: 2.Ableitung ist gleich Null f´´(x)=0
[mm] f´´(x)=0=-12x^2+6 [/mm] ergibt für x_12 = [mm] \pm \bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
Es gibt 2 Wendepunkte. Diese lauten
[mm] WP_1[+\bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] | [mm] \bruch{21}{4}] [/mm] und
[mm] WP_2[-\bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] | [mm] \bruch{21}{4}]
[/mm]
Skizze (mit Hilfe von Derive):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Anmerkung:
Zur Frage der Beschränktheit, dem asymptotischen Verhalten und einer stetigen Ergänzung konnte ich keine Angaben machen, da meines Erachtens bei den vorliegenden Funktionen derartige Dinge nicht vorliegen ! Mit dem Einbau der Skizzen/Graphen hatte ich etwas Probleme.
Schachschorsch
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 4 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 12:33 Sa 11.10.2008 | | Autor: | Adamantin |
Habe die erste Aufgabe mal hier gelöscht, da doppelt!
wurde ja schon oben von mir beantwortet, hast ja doppelt gepostet ^^
>
>
> Aufgabe 2 Kurvendiskussion von 4 Funktionen
>
> [mm]a) f(x)=x^3-6x^2+6x[/mm]
>
> Definitionsbereich: D= [mm][-\inty[/mm] | [mm]+\infty][/mm] wegen [mm]x^3[/mm]
>
> Symmetrie: Die Kurve geht nach dem Wendepunkt
> entgegengesetzt weiter, d.h. die Werte sind Minus der Werte
> vor dem Wendepunkt.
Diese Erklärung ist zwar richtig, aber nicht mathematisch. Mathematisch lautet die Definition für Achsensymmetrie so:
f(-x)=f(x)
Und für Punktsymmetrie:
-f(-x)=f(x)
Wenn also gilt
[mm] -f(-x)=-(-x^3-6x^2-6x)=+x^3+6x^2+6x\isnot [/mm] f(x)
Dann ist die Funktion nicht punktsymmetrisch zum Ursprung! Die Funktion besitzt also keine Symmetrie wie [mm] x^3! [/mm] Einfacher kann man das auch daran sehen, ob die Funktion nur gerade/ungerade Exponenten enthält. Eine Funktionsgleichung mit ausschließlich geraden Exponenten ist immer symmetrisch zur y-Achse, eine mit ausschließlich ungeraden immer symmetrisch zum Ursprung
>
> Beschränktheit, asymptotisches Verhalten und stetige
> Ergänzung: Keine Angaben
>
> Achsenschnittpunkte: f(x)=0 und f(0)
>
> Wir setzen f(x) = 0 und vereinfachen bzw. faktorisieren
>
> 0= [mm]x^3-6x^2+6x[/mm] | Ausklammern von x
>
> [mm]0=x*(x^2-6x+6)[/mm] wir haben bei x=0 die 1.Nullstelle [0 | 0]
>
> Die Klammer rechnen wir mit der pq-Formel und erhalten:
>
> [mm]x_0= 3\pm\wurzel{3}[/mm] dort liegen also 2 weitere Nullstellen
> [mm][3+\wurzel{3}[/mm] | 0] und [mm][3-\wurzel{3}[/mm] | 0]
>
> Die 1.Nullstelle befindet sich im Ursprung, denn dort gilt
> f(0)=0 (=Schnittpunkt der y-Achse)
> Extremalpunkte und Steigungsverhalten:
>
> Bei x<0 sinken die y-Werte im 3.Quadranten stark und gehen
> gegen [mm]-\infty.[/mm] (liegt an [mm]x^3),[/mm] bei [mm]x>(3+\wurzel{3}[/mm] =
> Tiefpunkt) steigen die Wert stark an und wachsen im
> 1.Quadranten gegen [mm]+\infty.[/mm]
>
> Extremalpunkte: Wir benutzen die 1.Ableitung
> f´(x)= [mm]3x^2-12x+6[/mm] und setzen f´(x)=0
>
> [mm]0=3x^2-12x+6[/mm] | wir klammern 3 aus
>
> [mm]0=3*(x^2-4x+2)[/mm] nach der pq-Formel erhalten wir für x_12=2
> [mm]\pm \wurzel{2}.[/mm] Nun haben wir die beiden Extrempunkte,
> wobei der Tiefpunkt beim größeren und der Hochpunkt beim
> kleineren x-Wert liegt.
>
> TP [mm][2+\wurzel{2}[/mm] | [mm]-4\wurzel{2}-4][/mm] und HP [mm][2-\wurzel{2}[/mm] |
> [mm]4\wurzel{2}-4][/mm]
>
> Wendepunkt und Krümmungsverhalten
>
> Zur Ermittlung des Wendepunktes benutzen wir die
> 2.Ableitung. f´´(x) muss 0 sein.
>
> f´´(x)=6x-12=0 daraus folgt, dass [mm]x_p=2[/mm] ist. Nach Einsetzen
> des Wertes in die Funktion erhält man für WP [2 | -4]
>
> Da Krümmungsverhalten der Kurve kann man wie folgt
> beschreiben:
>
> Ähnlich wie [mm]f(x)=x^3[/mm] kommt die Kurve im 3.Quadranten steil
> nach oben, geht durch den Ursprung und ändert beim
> Hochpunkt die Richtung nach rechts unten. Sie geht nach dem
> Wendepunkt nach links und wird nach dem Tiefpunkt steil
> nach oben in den 1.Quadranten.
>
> Skizze (hier der Graph erzeugt mit Derive):
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
alles richtig, gut gemacht ;) Nur an der ein oder anderen Stelle noch etwas auf die Formulierungen achten
>
> [mm]b) f(x)=-0.1x^3+0.5x^2-0.6x[/mm]
>
> Definitionsbereich: [mm]D=[+\infty[/mm] | [mm]-\infty][/mm]
>
> Symmetrie: links und rechts vom Wendepunkt sind die y-Werte
> bis auf das Vorzeichen identisch. Somit ist die Kurve
> ähnlich wie Aufgabe a) symmetrisch.
Will nochmal was zur Symmetrie sagen, s.o.
Der Unterschied ist, dass in der Schule eigentlich IMMER, da sonst mathematisch nicht für uns lösbar oder machbar (zumindest bei uns) nur y-Achsensymmetrie und Ursprungssymmetrie abgefragt werden. DIe FOrmeln dafür habe ich ja oben hingeschrieben bzw, die Definitionen. Natürlich kann ein Graph daneben trotzdem eine Symmetrie besitzen, z.B. eben symmetrisch zum Wendepunkt, nicht jedoch zum Ursprung! Da man dafür aber keine rechnerische Definition lernt, sind bei Symmetrie immer nur die zwei Fälle von oben zu untersuchen! Wenn es aber eindeutig ist, kann man wahrscheinlich durchaus sagen, dass der Wendepunkt die Symmetrie beherbergt.
>
> Beschränktheit, asymptotisches Verhalten und stetige
> Ergänzung: Keine Angaben
>
> Achsenschnittpunkte: Es muss gelten f(x)=0 und f(y)=0
>
> [mm]0=-0.1x^3+0.5x^2-0.6x[/mm] | *-10
sehr clever
>
> [mm]0=x^3-5x^2+6x[/mm] | x ausklammern
>
> [mm]0=x*(x^2-5x+6)[/mm] die erste Nullstelle ist bei x=0 im
> Ursprung [0 | 0]. Hier ist auch der (einzige) Schnittpunkt
> der y-Achse.
>
> Den Term in der Klammer setzen wir gleich 0 und lösen mit
> der pq-Formel:
>
> 0= [mm]x^2-5x+6[/mm] daraus folgt
>
> [mm]x_1=2[/mm] und [mm]x_2=3[/mm] Dort sind die weiteren Nullstellen.
> Faktorisiert kann man die Funktion auch schreiben als
>
> f(x)=x*(x-2)*(x-3)
schön
>
> Extremalpunkte und Steigungsverhalten:
>
> Steigung der Kurve für negative x-Werte im 2.Quadranten
> gegen + [mm]\infty,[/mm] bei steigenden positiven x-Werten im
> 4.Quadranten gegen - [mm]\infty.[/mm]
>
> Extremalwerte: 1.Ableitung f´(x)=0
>
> [mm]f(x)=x^3-5x^2+6x[/mm]
>
> [mm]f´(x)=3x^2-10x+6[/mm] mit f´(x)=0 folgt
>
> [mm]0=3x^2-10x+6[/mm] |:3
>
> [mm]0=x^2-\bruch{10}{3}x+2[/mm] Lösung mit pq-Formel ergibt:
>
> [mm]x_12=\bruch{5}{3}\pm\bruch{\wurzel{7}}{3}[/mm]
>
> Diese x-Werte ergeben in f(x) den Tiefpunkt TP
> [mm][\bruch{5}{3}+\bruch{\wurzel{7}}{3}[/mm] | [mm]-\bruch{2}{27}][/mm] und
> den Hochpunkt HP [mm][\bruch{5}{3}-\bruch{\wurzel{7}}{3}[/mm] |
> [mm]-\bruch{7*\wurzel{7}}{135}- \bruch{2}{27}][/mm]
in Zukunft aber bitte die TP und HP mit der zweiten Ableitung überprüfen! Hier muss dann größer oder kleiner 0 rauskommen ;) Das wäre dann die hinreichende Bedingung.
>
> Oder dezimal (zwei Stellen hinter dem Komma):
>
> TP [0.78 | -0.21] und HP [2.54 | 0.06]
die Angabe ist für mich gut zum Überprüfen :)
> Wendepunkte und Krümmungsverhalten:
>
> Die Kurve kommt aus dem 2.Quadranten, geht durch den
> Ursprung in den 4.Quadraanten, steigt in den 1.Quaranten,
> bevor sie nach rechts unten in den 4.Quadranten Richtung
> minus unendlich absinkt
>
> Für den Wendepunkt gilt: f´´(x)=0
>
> f´´(x)=6x-10 ergibt [mm]x=\bruch{5}{3},[/mm] einesetzt in f(x)
> ergibt dies den Wendepunkt WP [mm][\bruch{5}{3}[/mm] |
> [mm]-\bruch{2}{27}][/mm]
>
> Skizze(mit Hilfe von Derive):
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> [mm]c) f(x)=x^3-6x^2+9x-2[/mm]
>
> Definitionsbereich: D= [-infty | [mm]+\nfty][/mm] wegen [mm]x^3[/mm]
>
> Symmetrie:Die Kurve geht nicht durch den Ursprung ist aber
> in ihrem Wendepunkt punktsymmetrisch.
>
> Beschränktheit, asymptotisches Verhalten und stetige
> Ergänzung: Keine Angaben
>
> Achsenschnittpunkte:
> Nullstellen bei f(x)=0 und f(y)=0
>
> f(x)=0= [mm]x^3-6x^2+9x-2[/mm] Polynomdivision durch den Faktor
> [mm](x-x_0). x_0[/mm] ist ganzzahliger Teiler des variablenfreien
> Summanden.
>
> Probieren ergab für [mm]x_0[/mm] den Wert 2, somit konnte wie folgt
> geteilt werden:
>
> [mm](x^3-6x^2+9x-2)[/mm] : (x-2)= [mm]x^2-4x+1[/mm]
> [mm]-(x^3-2x^2)[/mm]
> [mm]-4x^2+9x[/mm]
> [mm]-(-4x^2+8x)[/mm]
> x-2
> -(x-2)
> 0
> Die Rechnung ging ohne Rest auf. Die 1.Nullstelle ist also
> bei x=2.
> Der übriggebliebene Term ergab mit Hilfe der pq-Formel die
> 2. und 3.Nullstelle und konnte in die restlichen Faktoren
> zerlegt werden.
>
> [mm]x_12=2\pm\wurzel{3}[/mm]
>
> Die y-Achse wird für x=0 bei -2 geschnitten.
>
> Extremalpunkte und Steigungsverhalten:
>
> Die Kurve kommt aus Richtung [mm]-\infty[/mm] aus dem 3.Quadranten,
> schneidet die y-Achse bei -2, geht kurz in den
> 4.Quadranten, schneidet die x-Achse bei [mm]x=2-\wurzel{3}[/mm]
> erreicht im 1.Quadranten den Hochpunkt, dreht nach rechts
> und schneidet erneut die x-Achse, diesmal beim Wendepunkt
> bei x=2. Im 4.Quadranten dreht sie nach dem Tiefpunkt nach
> links oben, schneidet die x-Achse zum3.Mal bei
> [mm]x=2+\wurzel{3}[/mm] und steigt steil nach oben im 1.Quadranten
> Richtung [mm]+\infty.[/mm]
>
> Extremalpunkte: f´(x)=0
>
> [mm]f´(x)=0=3x^2-12x+9[/mm] | :3
>
> [mm]0=x^2-4x+3[/mm] die pq-Formel ergibt [mm]x_1=3[/mm] und [mm]x_2=1.[/mm] Dies
> ergibt eingesetzt in f(x) den Tiefpunkt TP [3 | -2] und den
> Hochpunkt HP [1 | 2]
>
> Wendepunkte: 2.Ableitung gleich Null
>
> f´´(x)=0=6x-12 daraus folgt x=2 und der Wendepunkt WP [2 |
> 0]
>
> Skizze (mit Hilfe von Derive):
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> [mm]d) f(x)=-x^4+3x^2+4[/mm]
>
> Definitionsbereich: D= [mm][-\infty| +\infty][/mm]
>
> Symmetrie: Die Kurve ist achsensymmetrisch (-Achse) beim
> Sattelpunkt SP [0 | 4]. Dort gilt [mm]f(y)=\pm[/mm] x
>
> Beschränktheit, asymptotisches Verhalten und stetige
> Ergänzung: keine Angaben
>
> Achsenschnittpunkte:
>
> Nullstellen bei f(x)=0 und f(y)=0
>
> [mm]f(x)=0=-x^4+3x^2+4[/mm] Polynomdivision durch [mm](x-x_0)[/mm] für [mm]x_0=2[/mm]
> ergibt:
>
> [mm](-x^4+3x^2+4)[/mm] : (x-2)= [mm]-x^3-2x^2-x-2[/mm]
> [mm]-(-x^4+2x^)[/mm]
> [mm]-2x^3+3x^2[/mm]
> [mm]-(-2x^3+4x^2)[/mm]
> [mm]-x^2+4[/mm]
> [mm]-(x^2+2x)[/mm]
> -2x+4
> -(-2x+4)
> 0
> Damit haben wir bei x=2 die erste Nullstelle. Zudem dürfte
> die weitere Polynomdivision aufgehen.
>
> Wir teilen den restlichen Term durch [mm](x-x_0)[/mm] für [mm]x_0=-2[/mm]
>
> [mm](-x^3-2x^2-x-2)[/mm] : (x+2)= [mm]-x^2-1[/mm]
> [mm]-(-x^3-2x^2)[/mm]
> 0-x-2
> -(-x-2)
> 0
> Und haben die 2.Nullstelle bei x=-2
>
> Der übrig gebliebene Term [mm]x^2-1[/mm] kann nicht ausgerechnet
> werden ! [mm](x=\wurzel{-1}[/mm] !?
>
> f(0)=4. d.h. die Kurve schneidet die y-Achse im Sattelpunkt
> SP [0 | 4].
>
> Extremalpunkte und Steigungsverhalten:
>
> Die Kurve kommt im 3.Quadraten aus [mm]-\nfty[/mm] steil nach oben,
> schneidet die x-Ache bei x=-2 steigt an bis zum Hochpunkt,
> dreht nach rechts unten und schneidet die y-Achse im
> Sattelpunkt SP [0 | 4], steigt im 1.Quadranten bis zum
> Hochpunkt, dreht dann nach rechts unten, schneidet die
> x-Achse bei x=2 und verschwindet im 4.Quadranten Richtung
> [mm]-\infty.[/mm]
>
> Extremalpunkte:
>
> f´(x)=0
>
> [mm]f'(x)=0=-4x^3+6x[/mm] | -4x ausklammern ergibt
>
> [mm]f´(x)=0=-4x*(x^2-\bruch{3}{2})[/mm] ergibt einen Extrempunkt bei
> x=0, und ausgerechnet mit der pq-Formel 2 Extrempunkte bei
> [mm]x=\wurzel{\bruch{3}{2}}[/mm] und [mm]x=-\wurzel{\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> Wie o.a. liegt bei [0 | 4] ein (tiefliegender) Sattelpunkt
> vor. Die beiden anderen Extrempunkte sind Hochpunkte mit
> gleichem y-Wert.
> Sie haben die Werte [mm]HP_1 [\wurzel{\bruch{3}{2}}[/mm] |
> [mm]\bruch{25}{4}][/mm] und
> [mm]HP_2 [-\wurzel{\bruch{3}{2}}[/mm] | [mm]\bruch{25}{4}][/mm]
> Wendepunkte: 2.Ableitung ist gleich Null f´´(x)=0
>
> [mm]f´´(x)=0=-12x^2+6[/mm] ergibt für x_12 = [mm]\pm \bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
>
> Es gibt 2 Wendepunkte. Diese lauten
>
> [mm]WP_1[+\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] | [mm]\bruch{21}{4}][/mm] und
>
> [mm]WP_2[-\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] | [mm]\bruch{21}{4}][/mm]
>
> Skizze (mit Hilfe von Derive):
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Anmerkung:
>
> Zur Frage der Beschränktheit, dem asymptotischen Verhalten
> und einer stetigen Ergänzung konnte ich keine Angaben
> machen, da meines Erachtens bei den vorliegenden Funktionen
> derartige Dinge nicht vorliegen ! Mit dem Einbau der
> Skizzen/Graphen hatte ich etwas Probleme.
>
> Schachschorsch
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Di 07.10.2008 | | Autor: | sasi |
So dann wer ich auch mal meinen Senf dazu abgeben!
> Gegeben sei die Funktion f mit der Gleichung
> [mm]f(x)=2x^5-4x^3+2x[/mm]
>
> a) Wie groß ist der maximale Definitionsbereich?
Definitionsbereich
[mm] -\infty \le [/mm] x [mm] \le \infty
[/mm]
> b) Wie verhält sich die Funktion für x [mm]\to \infty[/mm] und x
> [mm]\to -\infty?[/mm]
x [mm] \to \infty
[/mm]
f(x) [mm] \to \infty
[/mm]
x [mm] \to -\infty
[/mm]
f(x) [mm] \to -\infty
[/mm]
> c) Wo liegen die Nullstellen? Gibt es
> mehrfache Nullstellen?
Nullstellen
-1, 0 und 1 sind Nullstellen.
ja, x=-1 und x=1 sind zweifache Nullstellen!?
> d) Bestimmen Sie ausschließlich mit Hilfe der 1. Ableitung
> das Steigungsverhalten und geben Sie die Extrempunkte an.
Extrempunkte
x1=0,67
x2=1,87
unter dem Steigungsverhalten kann ich mir momentan leider gar nichts vorstellen, muss aber gestehen auch noch nicht alle Erklärungen gelesen zu haben und werde mich dann später noch mal damit auseinandersetzen.
sorry, ich habr, warum auch immer, die lösungen zu den aufgaben vorhin nicht sehen können. naja, jetzt hab ich sie gelesen, daher ist wohl eine antwort auf diesen beitrag nicht mehr notwendig.
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Das liegt daran, dass man bei Kursen immer erst die Lösung der anderen Teilnehmer sehen kann, wenn man selbst eine veröffentlicht hat, damit man nicht vorher von den Leistungen und Mühen anderer profitiert :)
Ansonsten gut, dann kannst du ja direkt deine Ergebnisse abgleichen.
> So dann wer ich auch mal meinen Senf dazu abgeben!
>
> > Gegeben sei die Funktion f mit der Gleichung
> > [mm]f(x)=2x^5-4x^3+2x[/mm]
> >
> > a) Wie groß ist der maximale Definitionsbereich?
> Definitionsbereich
> [mm]-\infty \le[/mm] x [mm]\le \infty[/mm]
aber wie gesagt, in dem Fall sagt man der Def.-Bereich ist [mm] \IR
[/mm]
> > b) Wie verhält sich die
> Funktion für x [mm]\to \infty[/mm] und x
> > [mm]\to -\infty?[/mm]
> x [mm]\to \infty[/mm]
> f(x) [mm]\to \infty[/mm]
>
> x [mm]\to -\infty[/mm]
> f(x) [mm]\to -\infty[/mm]
hier aber mit dem limes arbeiten, zumindest als Symbol
>
> > c) Wo liegen die Nullstellen? Gibt es
> > mehrfache Nullstellen?
> Nullstellen
> -1, 0 und 1 sind Nullstellen.
> ja, x=-1 und x=1 sind zweifache Nullstellen!?
>
> > d) Bestimmen Sie ausschließlich mit Hilfe der 1. Ableitung
> > das Steigungsverhalten und geben Sie die Extrempunkte an.
> Extrempunkte
> x1=0,67
> x2=1,87
>
> unter dem Steigungsverhalten kann ich mir momentan leider
> gar nichts vorstellen, muss aber gestehen auch noch nicht
> alle Erklärungen gelesen zu haben und werde mich dann
> später noch mal damit auseinandersetzen.
>
>
>
> sorry, ich habr, warum auch immer, die lösungen zu den
> aufgaben vorhin nicht sehen können. naja, jetzt hab ich sie
> gelesen, daher ist wohl eine antwort auf diesen beitrag
> nicht mehr notwendig.
Mit dem Steigungsverhalten ist gemeint, dass man auf Monotonie untersuchen soll, dazu habe ich gar nichts in den Erklärungen geschrieben ;) Das wäre dann so, dass man untersucht, wo gilt überall f'(x)>0 oder f'(x)<0 und damit kann man dann sagen, wo die Funktion Extremwerte haben muss, ohne dass man gleich 0 setzt bzw die zweite Ableitung einsetzt, zudem sieht man dann ob um die Extremalstelle ein Vorzeichenwechsel vorliegt oder nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 Fr 10.10.2008 | | Autor: | sasi |
oki, danke!
ist ja eigentlich auch genz logisch, wär ich aber im moment nicht allein drauf gekommen!
lg sasi
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