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Hallo,
ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum gestellt.
Wir haben in diesem Semester bei der Einführung von Gradientenfeldern und Potentialen einen kurzen Ausflug zu zusammenhängenden (zsh) Mengen gemacht. Unter anderem auch einfach zsh Gebiete definiert. Mir fällt dabei schwer vorzustellen, was genau das beudeutet. In unserem Skript heißt es zunächst:
"Ein Gebiet [mm]G \subset \IR ^{n}[/mm] heißt einfach zsh, wenn man jeden Weg in G auf einen Pkt. zusammenziehen kann. So ist z.B. [mm]\IR _{x}^{3}:= \left\{ x\in \IR ^{3} | x \ne 0 \right\} [/mm] einfach zsh., [mm]\IR _{x}^{2}[/mm] jedoch nicht."
Nun macht Wikipedia noch den Zusatz, dass der Weg geschlossen sein muss. Ab diesem Punkt kann ich mir das schon mal mit dem "Zusammenziehen" vorstellen: wie das Zusammenziehen einer Lassoschlinge, wenn man so will. Es heißt auch öfter, dass ein einfach zsh. Gebiet keine Löcher haben darf. Ich habe mir so ein wenig daraus zusammengereimt, dass einfach zsh. ausschließt, dass ein Weg existiert, der beim zusammenziehen auf einen Punkt "kurz" nicht mehr durch das Gebiet verläuft...
Das lässt sich damit aber nicht vereinigen, dass [mm]\IR _{x}^{3}[/mm] einfach zsh. sein soll. Nimmt man z.B. den Weg [mm]\gamma : [0, 2 \pi] \to \IR _{x}^{3}[/mm] mit [mm]\gamma (t) := \left( sin(t), cos(t), sin(\bruch{t}{2})\right)[/mm] verläuft dieser im angeblich einfach zsh. [mm]\IR _{x}^{3}[/mm] endet aber beim Zusammenziehen im verbotenen Nullpunkt... also ist ja irgendwo in meiner Vorstellung ein Fehler. Aber wo?
Bin für jede Hilfe dankbar
Edit: !hab die Kurve, die ich mir vorgestellt habe, falsch parametrisiert: eigentlich sollte es die hier sein: [mm]\gamma : [0, 2 \pi] \to \IR _{x}^{3}[/mm] mit [mm]\gamma (t) := \left( sin(t), cos(t), sin(t)\right)[/mm]... gemeint habe ich auf jeden Fall einen Kreis, der einmal rund um den Nullpunkt läuft!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 So 06.07.2008 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
um mal in der Vorstellung vom Lasso zu bleiben:
hast Du am boden eine Stange stehen, um die Du das Lasso legst, dann kannst Du es nicht komplett zusammenziehen, ohne es vom Boden hochzuheben - das wäre der Fall [mm] \IR_x^2.
[/mm]
Im Fall des [mm] \IR_x^3 [/mm] darfst Du das Lasso aber anheben: du verschiebst den Kreis einfach so, dass der Nullpunkt nicht mehr in der Kreisfläche liegt. Das ist ja eine umkehrbar stetige Transformation und dein Weg kommt auch niemals mit dem "fehlenden" Nullpunkt in Berührung. Und dann kannst Du ja wieder einfach den Radius zusammenschrumpfen lassen, bis der Kreis zu einem Punkt zusammengezogen ist.
Alles klar?
Gruß
piet
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Ja, danke, das hat mir auf jeden Fall schon mal geholfen das zu verstehen! Mir wird allerdings noch nicht klar wann genau diese Voraussetzung wichtig wird, wenn man Potentiale für Gradientenfelder aufstellt oder ihre Existenz beweist. Wir haben zwar in allen Beweisen vorausgesetzt, dass wir uns in einfach zsh. Gebieten befinden, aber explizit mit einer Eigenschaft von solchen Gebieten haben wir dann nicht mehr hantiert...
naja, vielleicht wird mir das ja noch in der Funktionentheorie klar (das war bei uns alles ein Einschub in Ana II. Das gehört ja eigentlich nicht dazu, oder?)
Auf jeden Fall danke für die Hilfe
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