eindeutig bestimmte zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hallo leute,
ich hab mir an dieser aufgabe in den letzen tagen die zähne ausgebissen:
a:=2+ [mm] \wurzel{2} [/mm] ; b:= 2- [mm] \wurzel{2} [/mm] und für x [mm] \in \IR [/mm] sei [x] [mm] \in \IZ [/mm] die eindeutig bestimmte ganze Zahl mit
[x] [mm] \le [/mm] x < [x]+1
zu zeigen:
[mm] a^{n} [/mm] + [mm] b^{n} [/mm] = [mm] [a^{n}] [/mm] + 1
und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a^{n} [/mm] - [mm] [a^{n}]) [/mm] = 1
ich komm echt nicht weiter
please please please help me
ich habe diese frage auch schon in einem anderen matheforum gestellt, aber dort wurde nicht reagiert, das system hier scheint eh viel ausgereifter zu sein, auf gute zusammenarbeit
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.mathematik-forum.de/forum/showthread.php?t=32119&styleid=7
ich hoffe ihr seid trotz der tatsache, dass ich so unverantwortlich gehandelt habe und schon woanders gepostet habe gnädig und greift mir helfend unter die arme
viele grüße
dschingis der eroberer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Fr 12.11.2004 | | Autor: | ChryZ |
Hallo!
Ich denke, dass der Trick ist,dass Du ein wenig mit den Zahlen rumspielst.
Ich hab mal ein wenig angefangen,mal sehn, ob du damit weiter kommst:
a = 2 + [mm] \wurzel{2} [/mm] = [mm] \wurzel{2} \wurzel{2}+\wurzel{2} [/mm] = [mm] \wurzel{2} [/mm] ( [mm] \wurzel{2} [/mm] + 1)
analog kommt bei b = [mm] \wurzel{2} [/mm] ( [mm] \wurzel{2} [/mm] - 1) raus.
=>
( [mm] \wurzel{2} [/mm] ( [mm] \wurzel{2}+1) )^n [/mm] + ( [mm] \wurzel{2} [/mm] ( [mm] \wurzel{2} [/mm] - 1) [mm] )^n [/mm] = ( [mm] \wurzel{2} )^n [/mm] ( [mm] \wurzel{2} [/mm] + [mm] 1)^n [/mm] + ( [mm] \wurzel{2} )^n [/mm] ( [mm] \wurzel{2} [/mm] - [mm] 1)^n [/mm] = (( [mm] \wurzel{2} )^n)(( \wurzel{2} [/mm] + [mm] 1)^n [/mm] + ( [mm] \wurzel{2} [/mm] - [mm] 1)^n)
[/mm]
Wenn Du jetzt die beiden "n-nomischen" Formeln ( [mm] \wurzel{2} \pm 1)^n [/mm] ausmultiplizierst, sollte sich einiges verkürzen.
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Hallo Dschingis
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]a^{n}[/mm] + [mm]b^{n}[/mm] = [mm][a^{n}][/mm] + 1
> und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (a^{n}[/mm] - [mm][a^{n}])[/mm] = 1
Zeige zunächst das [mm] a^n+b^n [/mm] eine ganze Zahl ist.
Dabei könnte dieser dir bestimmt bekannte Zusammenhang helfen.
[mm](a+b)^n= \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}a^k b^{n-k}[/mm]
Wie sieht [mm] \lim_{n \to \infty } b^n [/mm] aus?
Hilft Dir dieser Grenzwert bei der zweiten Aufgabe.
gruß
mathemaduenn
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