eind/n.eind. primfaktorzerlegu < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:13 Fr 18.06.2010 | | Autor: | AriR |
Hey Leute,
ich verstehe eine Sache nicht so ganz und zwar, angenommen es gäbe eine Primfaktorzerlegung der Zahlen aus [mm] \IZ [/mm] die aber nicht eindeutig ist, warum kann ich dann aus [mm] p|a^2 [/mm] nicht folgern, dass p|a? [mm] p\in\IP, a\in\IZ
[/mm]
Angenommen [mm] a=p_1*...*p_n=p'_1*...*p'_m [/mm] wobei die [mm] p_i,p'_j [/mm] jeweils Primfaktoren sind (die nicht alle gleich sind).
Wenn nun gilt [mm] p|a^2 [/mm] mit oBdA [mm] p=p_1 [/mm] dann auch, [mm] p|p_1^2*...*p_n^2 [/mm] und somit auch [mm] p|p_1*...*p_n [/mm] und somit wieder p|a
Wo genau ist jetzt das Problem, verstehe das leider nicht :(
Gruß und schönes WE an alle ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:47 Fr 18.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey Leute,
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> ich verstehe eine Sache nicht so ganz und zwar, angenommen
> es gäbe eine Primfaktorzerlegung der Zahlen aus [mm]\IZ[/mm] die
> aber nicht eindeutig ist, warum kann ich dann aus [mm]p|a^2[/mm]
> nicht folgern, dass p|a? [mm]p\in\IP, a\in\IZ[/mm]
>
> Angenommen [mm]a=p_1*...*p_n=p'_1*...*p'_m[/mm] wobei die [mm]p_i,p'_j[/mm]
> jeweils Primfaktoren sind (die nicht alle gleich sind).
>
> Wenn nun gilt [mm]p|a^2[/mm] mit oBdA [mm]p=p_1[/mm] dann auch,
> [mm]p|p_1^2*...*p_n^2[/mm] und somit auch [mm]p|p_1*...*p_n[/mm] und somit
> wieder p|a
>
> Wo genau ist jetzt das Problem, verstehe das leider nicht
> :(
ich habe mir das ganze jetzt auch überlegt, aber gelange nicht zu dieser Aussage:
Edit: Man beachte, dass dieser Artikel einen Denkfehler enthält. Eine ergänzende Korrektur zu diesem Artikel findet man hier: https://matheraum.de/read?i=694294 [mm] ($\leftarrow$ klick it!).
Es gilt mit $a=p_1\,*\,\ldots\,*\,p_n=p_1'\,*\,\ldots\,*\,p_m'$ sicherlich
$$a^2=p_1^2\,*\,\ldots\,*\,p_n^2=p_1'^2\,*\,\ldots\,*\,p_m'^2=p_1\,*\,\ldots\,*\,p_n*p_1'\,*\,\ldots\,*\,p_m'\,.$$
Hast Du denn irgendwo stehen, dass aus einer nichteindeutigen Primfaktorzerlegung von $a\,$ folgen würde, dass die Folgerung
$$p|a^2 \Rightarrow p|a$$
falsch ist?
Denn wenn irgendwo steht, dass sich aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung die Folgerung
$$p|a^2 \Rightarrow p|a$$
ergibt, so heißt das ja nicht, dass diese Folgerung falsch wird, wenn man die Eindeutigkeit nicht hätte.
("$A \Rightarrow B$" beinhaltet ja nicht, dass "$(\neg A) \Rightarrow (\neg B)$" auch gelten würde. Wäre dem so, so wären ja alle Folgerungen direkt als Äquivalenzen aufzufassen, da "$(\neg A) \Rightarrow (\neg B)$" als Kontraposition äquivalent zu "$B \Rightarrow A$" ist.)
Wenn es nur darum geht, warum die eindeutige Primfaktorzerlegung von $a=p_1\,*\,\ldots\,*p_n$ die obenstehende Folgerung zuläßt:
Da alle Teiler von $a^2$ gerade in der Menge
$$\left\{\left(\produkt_{i \in I}p_i\right)*\left(\produkt_{j \in J}p_j\right):\;\;I,J \subseteq \{1\,\ldots\,n\}\right\}$$
enthalten sind (mit $\produkt_\emptyset \ldots:=1$), muss
$p=\left(\produkt_{i \in I}p_i\right)*\left(\produkt_{j \in J}p_j\right)$ mit $|I|=1\,$ und $J=\emptyset$
oder
$p=\left(\produkt_{i \in I}p_i\right)*\left(\produkt_{j \in J}p_j\right)$ mit $|J|=1\,$ und $I=\emptyset$ sein.
Andernfalls wäre $p\,$ als Produkt von mehr als zwei Primzahlen sicher nicht mehr selbst Primzahl. Daher muss p=p_i für genau ein $i \in \{1,\ldots,n\}$ gelten und damit gilt insbesondere $p|a\,.$
Was allerdings wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung z.B. gilt, ist:
Sind $p_i,p_j \in \IP$ und gilt $p_i*p_j|a^2\,,$ so folgt auch schon $p_i*p_j|a\,.$
(Man kann das auch mit dem Produkt mehrerer Primzahlen machen.)
Dies gilt nicht mehr, wenn die Primfaktorzerlegung zwar existiert, aber nicht notwendig eindeutig ist:
Denn z.B. würde mit
$$a=p_1*p_2=p_1'*p_2'*p_3'$$
sicher
$$a^2=p_1^2*p_2^2=p_1'^2*p_2'^2*p_3'^2=p_1*p_2*p_1'*p_2'*p_3'$$
gelten und damit wäre $p_2*p_1'$ ein Teiler von $a^2\,,$ aber $p_2*p_1'|a$ kann nicht gelten, da andernfalls mit einem $k \in \IZ$
$$k*p_1'=\frac{a}{p_2}$$
wäre, aber auch
$$\frac{a}{p_2}=p_1$$
ist. Dann wäre aber $p_1=k*p_1'$ keine Primzahl mehr.
Was ich damit zudem erhalte:
Ist $k \in \IZ$ mit $k^2|a^2$, so folgt $k|a\,$ (wobei $k \in \IZ$ sei) wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung von $a\,$, und diese Folgerung hat man sicher nicht ohne weiteres, wenn man nur eine Primfaktorzerlegung hat, die nicht notwendig eindeutig ist.
Aber ich denke, dass für $p \in \IP$ aus $p|a^2$ schon $p|a\,$ folgt, wenn man "nur" irgendeine Primfaktorzerlegung von $a\,$ hat.
Andernfalls verzeihe man mir, denn ich bin gerade auch nicht so fit in Zahlentheorie. Aber dann wäre ich für einen Hinweis, wo genau hier mein Denkfehler liegt, dankbar. 
Beste Grüße,
Marcel
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:32 Sa 19.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> vielen Dank für die ausführliche Antworte, ich werde mir
> das gleich mal in Ruhe durchlesen.
>
> Ich hab die Frage aufgrund der Antwort von leduart in
> diesem Artikel gestellt
> ![[]](/images/popup.gif) https://matheraum.de/read?t=601023&mrsessionid=3973a27176863378b0f9b1521bd876a0e4329267
>
> Gruß :)
es ist leider schlecht verlinkt, daher hier erneut der Link:https://matheraum.de/read?i=601088.
Leduart hat es dort aber doch sehr gut begründet, dass man aus [mm] $p|a^2$ [/mm] doch nicht [mm] $p|a\,$ [/mm] schließen kann:
Dazu nehmen wir an, es sei $a [mm] \in \IP\,.$ [/mm] Dann hat [mm] $a^2$ [/mm] einerseits die Primfaktorzerlegung [mm] $a^2=a*a\,,$ [/mm] andererseits hat [mm] $a^2$ [/mm] vielleicht eine weitere Primfaktorzerlegung der Form [mm] $a^2=p*n\,$ [/mm] mit $n,p [mm] \in \IP$ [/mm] (oder allgemeiner: [mm] $a^2=p_1\,*\,\ldots\,*\,p_n$ [/mm] mit [mm] $p_1\,*\,\ldots\,*\,p_n \in \IP$).
[/mm]
Wegen [mm] $a^2=a*a$ [/mm] mit $a [mm] \in \IP$ [/mm] kann dann aber keine der [mm] $p_1,\,\,\ldots\,,\,p_n \in \IP$ [/mm] mit [mm] $a\,$ [/mm] gleich sein (ansonsten stünde rechts keine andere Primfaktorzerlegung von [mm] $a^2$).
[/mm]
Unser gemeinsamer Fehler oben ist, dass wir davon ausgehen, dass die Primfaktorzerlegungen von [mm] $a\,$ [/mm] stets auf die "einzigen" Primfaktorzerlegungen von [mm] $a^2$ [/mm] schließen lassen. Wenn es aber für jede Zahl nicht notwendig nur eine Primfaktorzerlegung gibt, so sagt uns ja niemand, dass aus der Darstellung [mm] $a=p_1*\ldots*p_n=p_1'*\ldots*p_m'$ [/mm] folgt, dass nur die Primfaktorzerlegungen
[mm] $$(\*)\;\;\;a^2=p_1^2*\ldots*p_n^2=p_1'^2*\ldots*p_m'^2=p_1*\ldots*p_n*p_1'*\ldots*p_m'$$
[/mm]
für [mm] $a^2$ [/mm] möglich sind. Es kann ja dann durchaus auch sein, dass
[mm] $$a^2=p_1''*\ldots*p_N''$$
[/mm]
möglich ist. Das ist Leduarts Gedanke, und daran hatte mich auch schon oben aufgehangen:
Es ist dabei dann zu beachten, dass [mm] $a^2$ [/mm] hier auch andere als die in [mm] $(\*)$ [/mm] vorkommenden Primfaktorzerlegungen haben kann. Das einzige, was man weiß, wenn [mm] $a\,$ [/mm] zwei verschiedene Primfaktorzerlegungen hätte, ist, dass dann [mm] $(\*)$ [/mm] zeigt, dass [mm] $a^2$ [/mm] mindestens die drei dort vorkommenden Primfaktorzerlegungen hat.
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:36 Mo 21.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Leduart hat es dort aber doch sehr gut begründet, dass man
> aus [mm]p|a^2[/mm] doch nicht [mm]p|a\,[/mm] schließen kann:
> Dazu nehmen wir an, es sei [mm]a \in \IP\,.[/mm] Dann hat [mm]a^2[/mm]
> einerseits die Primfaktorzerlegung [mm]a^2=a*a\,,[/mm] andererseits
> hat [mm]a^2[/mm] vielleicht eine weitere Primfaktorzerlegung der
> Form [mm]a^2=p*n\,[/mm] mit [mm]n,p \in \IP[/mm] (oder allgemeiner:
> [mm]a^2=p_1\,*\,\ldots\,*\,p_n[/mm] mit [mm]p_1\,*\,\ldots\,*\,p_n \in \IP[/mm]).
eine wichtige Frage ist erstmal: was ist [mm] $\IP$? [/mm] Bzw. welche Eigenschaften erfuellen die Elemente in [mm] $\IP$? [/mm] Sind sie (im Ring-theoretischen Sinne) irreduzibel oder prim? Falls sie prim sind, ist die Zerlegung naemlich sehr wohl eindeutig. Nicht eindeutig kann sie nur sein, wenn die Elemente nicht umbedingt prim sind (sondern nur irreduzibel).
Wenn die Elemente Primzahlen im herkoemmlichen Sinn sind, dann sind sie normalerweise erstmal "nur" irreduzibel (bis man zeigt, dass sie auch prim sind).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Sa 26.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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