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| Aufgabe | die vom graphen der funktion f mit
f(x) = [mm] \bruch{a}{(a + 2)^2} [/mm] * x ( 2 - x ) mit a [mm] \in \IR+ [/mm] als parameter
und der x-achse begrenzte fläche rotiert um die x-achse. für welchen wert von a nimmt das volumen dieses körpers einen größten wert an? wie lautet in diesem fall die funktion? |
die lösung lautet:
für a = 2 nimmt das volumen den größten wert an;
V(max) = [mm] \bruch{64}{3}*pi;
[/mm]
V(a) = [mm] \bruch{16}{15}*pi*\bruch{a^2}{(a+2)^4}
[/mm]
zuerst muss man doch die grenzen bestimmen, also die nullstellen, oder?
die untere grenze ist also 0 und die obere ist 2 ,oder?
dann setz ich in die formel ein:
[mm] V=pi*\integral_{0}^{2}{[f(x)]^2 dx}
[/mm]
dann kommt bei mir ein ewig langer bruch raus, in den ich dann die grenzen einsetz, um das volumen zu bekommen, aber mein ergebnis stimmt nicht! außerdem weiß ich nicht, wie man denn dann das größtmögliche volumen berechnen kann...
könnt ihr mir helfen?
danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 So 18.03.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> die vom graphen der funktion f mit
> f(x) = [mm]\bruch{a}{(a + 2)^2}[/mm] * x ( 2 - x ) mit a [mm]\in \IR+[/mm]
> als parameter
> und der x-achse begrenzte fläche rotiert um die x-achse.
> für welchen wert von a nimmt das volumen dieses körpers
> einen größten wert an? wie lautet in diesem fall die
> funktion?
[...]
> zuerst muss man doch die grenzen bestimmen, also die
> nullstellen, oder?
> die untere grenze ist also 0 und die obere ist 2 ,oder?
> dann setz ich in die formel ein:
> [mm]V=pi*\integral_{0}^{2}{[f(x)]^2 dx}[/mm]
Korrekt.
Dann musst du das Integral ausrechnen.
Also:
[mm] \pi\integral_{0}^{2}(\bruch{a}{(a+2)²}*x( [/mm] 2 - x ))²dx
[mm] =\pi\integral_{0}^{2}(\bruch{a}{(a+2)²}*(2x-x²))²dx
[/mm]
[mm] =\pi\integral_{0}^{2}(\bruch{a²}{(a+2)^{4}}*(4x²-4x³+x²))dx
[/mm]
[mm] =\pi\bruch{a²}{(a+2)^{4}}\integral_{0}^{2}(4x²-4x³+x^{4})dx
[/mm]
[mm] =\pi\bruch{a²}{(a+2)^{4}}\left[\bruch{4}{3}x³-x^{4}+\bruch{1}{5}x^{5}\right]_{0}^{2}
[/mm]
[mm] =\pi\bruch{a²}{(a+2)^{4}}*(\underbrace{\bruch{4}{3}*2³-2^{4}+\bruch{1}{5}2^{5}}_{F(2)}-\underbrace{0}_{F(0)})
[/mm]
[mm] =\pi\bruch{a²}{(a+2)^{4}}*\bruch{16}{15}
[/mm]
[mm] =\bruch{16\pi*a²}{15(a+2)^{4}}
[/mm]
Und von dieser Funktion A(a) suchst du jetzt das Maximum. Das heisst, du suchst den Hochpunkt.
Das ganze funktioniert am einfachsten über die Ableitung.
Marius
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:01 Mo 19.03.2007 | | Autor: | mickeymouse |
tschuldige, dass ich nochmal störe bzgl dieser aufgabe, aber ich komm nicht auf die ableitung und auf den wert a=2...
könnt ihr mir bitte nochmal helfen?
danke:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Mo 19.03.2007 | | Autor: | ct2oo4 |
> tschuldige, dass ich nochmal störe bzgl dieser aufgabe,
> aber ich komm nicht auf die ableitung und auf den wert
> a=2...
> könnt ihr mir bitte nochmal helfen?
> danke:)
Wie weit kommste denn?
Eigentlich musst du bloß die erste Ableitung von f(x) herleiten, diese 0 setzen (nullstellen...).
Als nächstes brauchst du die 2te Abl. um zu prüfen welche art extremwert deine extremwertverdächtige Stelle ist
f''(x)... hier setzt du jetzt logischerweise die nullstellen der ersten Abl. ein.
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für die ableitung muss ich ja die quotientenregel verwenden...
also kommt bei mir für die ableitung raus:
[mm] \bruch{2a-2ax}{(a+2)^2}
[/mm]
stimmt des?
dann setz ich das gleich 0, oder? oder soll ich für x 0 einsetzen?
dann hab ich [mm] -a(a^2+4a+4)=0, [/mm] also eine quadratische gleichung...wenn ich die dann auflös, hab ich eine nullstelle bei a= -2
und eben noch für a=0
was dann? des kann ja nicht stimmen...
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Hallo mickeymouse,
> für die ableitung muss ich ja die  Quotientenregel
> verwenden...
$ [mm] A(a)=\bruch{16\pi\cdot{}a^2}{15(a+2)^{4}} [/mm] $
> also kommt bei mir für die ableitung raus:
> [mm]\bruch{2a-2ax}{(a+2)^2}[/mm]
> stimmt des?
nein, was hast du denn da gerechnet?!
setze alle Konstanten als separaten Bruch vor den Term mit a: $ [mm] A(a)=\bruch{16\pi}{15}\frac{a^2}{(a+2)^{4}} [/mm] $
setze [mm] u(a)=a^2 [/mm] und [mm] v(a)=(a+2)^4 [/mm] und [mm] g(x)=\frac{a^2}{(a+2)^4}=\frac{u(a)}{v(a)}
[/mm]
dann gilt: [mm] g'(x)=\frac{u'v-v'u}{v^2}
[/mm]
jetzt bist du dran...:
Gruß informix
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hoppla...hab f(x) differenziert...:)
hmm...
also [mm] \bruch{(a+2)^4*2a-4a^2(a+2)^3}{(a+2)^8} [/mm] ??
stimmt des so? und wie gehts dann weiter? ich bin grad total überfordert...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:20 Di 20.03.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Deine Ableitung ist korrekt, du hast nur den Vorfaktor [mm] \bruch{16\pi}{15} [/mm] vergessen.
Also:
[mm] A'(a)=\bruch{16\pi}{15}*\bruch{(a+2)^4\cdot{}2a-4a^2(a+2)^3}{(a+2)^8} [/mm]
[mm] =\bruch{16\pi}{15}*\bruch{(a+2)\cdot{}2a-4a²}{(a+2)^{5}}
[/mm]
[mm] =\bruch{16\pi(2a(a+2)-4a²)}{15(a+2)^{5}}
[/mm]
[mm] =\bruch{16\pi*(-2a²+4a)}{15(a+2)^{5}}
[/mm]
Und da du jetzt ein Extrema suchst, muss gelten:
A'(a)=0
[mm] \gdw\bruch{16\pi*(-2a²+4a)}{15(a+2)^{5}}=0
[/mm]
[mm] \gdw16\pi*(-2a²+4a)=0
[/mm]
[mm] \gdw-2a²+4a=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] a(-2a+4)=0
[mm] \gdw [/mm] a=0 0der a=2
Marius
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