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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 Di 01.02.2011 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | bestimmen sie eigenwerte und eigenräume der matrix
A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 } \in [/mm] M (3x3, [mm] \IR)
[/mm]
ist die matrix A diagonalisierbar? |
erst mal zu eigenwerte und eigenräume
det [mm] \pmat{ 1-\lambda & 1 & 0 \\ 0 & 1-\lambda & 1 \\ 0 & 0 & 1-\lambda }
[/mm]
= [mm] (1-\lambda)^3
[/mm]
also habe ich als EW: [mm] \lambda [/mm] =1
und die alg. Vielf. = 3, weil da hoch 3 steht, richtig?
jetzt zu eigenräume:
heißt bei der matrix E1=kern(A-1E2)
also
einfach A in zsf bringen und kern ausrechnen?
[mm] \pmat{ 1-1 & 1 & 0 \\ 0 & 1-1 & 1 \\ 0 & 0 & 1-1 }?
[/mm]
kioto
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Di 01.02.2011 | | Autor: | kioto |
das war nicht schwer mit dem nullstellen bestimmen, aber was ist wenn man statt [mm] (1-\lambda)^3 [/mm] so was raus hat:
[mm] (1-\lambda)(3-\lambda)(5-\lambda)-63-3\lambda [/mm] ?
die drei klammern sind klar, bei [mm] -3\lambda [/mm] ist die nullstelle einfach 0? und die -63 braucht man nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:19 Mi 02.02.2011 | | Autor: | pyw |
> das war nicht schwer mit dem nullstellen bestimmen, aber
> was ist wenn man statt [mm](1-\lambda)^3[/mm] so was raus hat:
>
> [mm](1-\lambda)(3-\lambda)(5-\lambda)-63-3\lambda[/mm] ?
> die drei klammern sind klar, bei [mm]-3\lambda[/mm] ist die
> nullstelle einfach 0? und die -63 braucht man nicht?
Nein.
Auch hier musst du die Nullstellen des gesamten Polynoms berechnen, d. h. im Normalfall Ausmultiplizieren und neu faktorisieren, insofern möglich. Es kann dabei durchaus passieren, dass du für den zugrunde liegenden Körper keine Nullstellen findet. Dann weißt du, das es keine Eigenwerte für die Matrix gibt.
(falsches) Beispiel: [mm] p(\lambda)=\lambda^3+2\lambda^2+\lambda+1 [/mm] hat eine (!) Nullstelle in [mm] \IR, [/mm] sie liegt etwa bei [mm] \lambda_0=-1,755
[/mm]
Edit: Beispiel für Polynom ohne reelle Nullstellen im nächsten Post
Gruß, pyw
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:28 Mi 02.02.2011 | | Autor: | kioto |
> > das war nicht schwer mit dem nullstellen bestimmen, aber
> > was ist wenn man statt [mm](1-\lambda)^3[/mm] so was raus hat:
> >
> > [mm](1-\lambda)(3-\lambda)(5-\lambda)-63-3\lambda[/mm] ?
da hab ich dann
[mm] =3-\lambda -3\lambda+\lambda^2(5-\lambda)-63-3\lambda
[/mm]
[mm] =60-7\lambda+\lambda^2(5-\lambda)
[/mm]
das waren ja nur die ersten zwei klammern, mache ich jetzt genau so weiter? also das erste mal das dritte, das zweite mal das dritte?
> > die drei klammern sind klar, bei [mm]-3\lambda[/mm] ist die
> > nullstelle einfach 0? und die -63 braucht man nicht?
>
> Nein.
> Auch hier musst du die Nullstellen des gesamten Polynoms
> berechnen, d. h. im Normalfall Ausmultiplizieren und neu
> faktorisieren, insofern möglich. Es kann dabei durchaus
> passieren, dass du für den zugrunde liegenden Körper
> keine Nullstellen findet. Dann weißt du, das es keine
> Eigenwerte für die Matrix gibt.
> Beispiel: [mm]p(\lambda)=\lambda^3+2\lambda^2+\lambda+1[/mm] hat
> keine Nullstellen in [mm]\IR[/mm] (Nachrechnen  )
muss man hier jetzt mit polynomdivision weiter machen? also nullstellen raten und co.?
>
> Gruß, pyw
eine gute nacht
kioto
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:43 Mi 02.02.2011 | | Autor: | pyw |
> muss man hier jetzt mit polynomdivision weiter machen? also
> nullstellen raten und co.?
Sry, mein voriges Beispiel war falsch.
Betrachte besser: [mm] p(\lambda)=\lambda^4+\lambda^2+1>0. [/mm] Hier siehst du gleich, das es keine reellen Nullstellen gibt.
Ansonsten - Raten ist immer ein guter Weg, funktioniert aber nicht bei "hässlichen" Nullstellen - siehe mein voriges Beispiel mit einer reellen Nullstelle.
Gruß, pyw
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