eigenwertbestimmung 3x3 matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 Di 27.07.2010 | | Autor: | heli-tac |
| Aufgabe | die matrix A= [mm] \pmat{ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -2 \\ 2 & -2 & 5 }
[/mm]
hat u.a. 7 als eigenwert. Welche sind die anderen?
Ist A diagonalisierbar? wenn ja, gebe die diagonalform an.
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Hallo,
ich versuche mich gerade an der oben stehenden aufgabe. bisher bin ich so weit gekommen, dass ich jetzt das polynom stehen habe von:
0 = [mm] \lambda^{3} [/mm] - [mm] 9\lambda^{2} [/mm] + [mm] 17\lambda [/mm] - 17
Ich hoffe das ist erstmal richtig (zur berechnung der eigenwerte).
So und nun muss ich das lösen, sodass ich die nullstellen bekomme - und da liegt das problem. Wie mache ich das?
Und das mit der diagonalisierbarkeit weiß ich leider such nicht.
Kann mir da jemand helfen?
Lg Heli-tac
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 Di 27.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> die matrix A= [mm]\pmat{ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -2 \\ 2 & -2 & 5 }[/mm]
>
> hat u.a. 7 als eigenwert. Welche sind die anderen?
> Ist A diagonalisierbar? wenn ja, gebe die diagonalform
> an.
>
> Hallo,
> ich versuche mich gerade an der oben stehenden aufgabe.
> bisher bin ich so weit gekommen, dass ich jetzt das polynom
> stehen habe von:
> 0 = [mm]\lambda^{3}[/mm] - [mm]9\lambda^{2}[/mm] + [mm]17\lambda[/mm] - 17
>
> Ich hoffe das ist erstmal richtig (zur berechnung der
> eigenwerte).
Nein, es ist nicht richtig.
Nochmal ran ! Berechne das char. Polynom p von A
In der Aufgabenstellung steht, dss p die Nullstelle 7 hat. Also mach Polynomdivision:
[mm] p(\lambda):(\lambda-7)= q(\lambda)
[/mm]
Die weiteren Nullstellen von p sind die von q
> So und nun muss ich das lösen, sodass ich die nullstellen
> bekomme - und da liegt das problem. Wie mache ich das?
> Und das mit der diagonalisierbarkeit weiß ich leider such
> nicht.
Warum machst Du Dich nicht schlau ? Sätze , def. aus der Vorlesung.
Tipp: A ist symmetrisch. Was bedeutet dies für Diagonalisierbarkeit ?
FRED
> Kann mir da jemand helfen?
>
> Lg Heli-tac
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 Di 27.07.2010 | | Autor: | heli-tac |
Aha. Gut, dann versuch ich mich nochmal dran. Vielen dank erstmal.
lg Heli-tac
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Fr 30.07.2010 | | Autor: | etoxxl |
Guten Abend,
ich bereite mich gerade auf eine Klausur vor und rechne einige Aufgaben hier aus dem Forum.
Ist meine Lösung für diese Aufgabe so richtig?
Das char. Polynom lautet: [mm] (t-7)(t-1)^2
[/mm]
Um zu zeigen, dass die Matrix Diagonalisierbar ist,
prüfe ich die Eigenräume.
Es gilt:
dim(Eig(1)) = dim(Ker(A-E))=n-dim(Im(A-E)) = 3 - rk(A-E) = 3-1 = 2
dim(Eig(7)) = ... = 3- rk(A-7E) = 3-2 = 1
Daraus darf ich folgern dass die Matrix diagonalisierbar ist
und sie hat die folgende Form: Auf der Hauptdiagonalen stehen die 3 Eigenwerte 1,1,7.
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Hallo,
> Guten Abend,
> ich bereite mich gerade auf eine Klausur vor und rechne
> einige Aufgaben hier aus dem Forum.
> Ist meine Lösung für diese Aufgabe so richtig?
>
> Das char. Polynom lautet: [mm](t-7)(t-1)^2[/mm]
> Um zu zeigen, dass die Matrix Diagonalisierbar ist,
> prüfe ich die Eigenräume.
Auf was?
> Es gilt:
> dim(Eig(1)) = dim(Ker(A-E))=n-dim(Im(A-E)) = 3 - rk(A-E) =
> 3-1 = 2
> dim(Eig(7)) = ... = 3- rk(A-7E) = 3-2 = 1
> Daraus darf ich folgern dass die Matrix diagonalisierbar
> ist
Aus was?
> und sie hat die folgende Form: Auf der Hauptdiagonalen
> stehen die 3 Eigenwerte 1,1,7.
Wieso ist denn deine Matrix nun diagonalisierbar?
Ich sehe bisher kein Argument, das dafür spricht.
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Fr 30.07.2010 | | Autor: | etoxxl |
> Hallo,
>
> > Guten Abend,
> > ich bereite mich gerade auf eine Klausur vor und
> rechne
> > einige Aufgaben hier aus dem Forum.
> > Ist meine Lösung für diese Aufgabe so richtig?
> >
> > Das char. Polynom lautet: [mm](t-7)(t-1)^2[/mm]
> > Um zu zeigen, dass die Matrix Diagonalisierbar ist,
> > prüfe ich die Eigenräume.
>
> Auf was?
Auf die Dimension der Eigenräume.
>
> > Es gilt:
> > dim(Eig(1)) = dim(Ker(A-E))=n-dim(Im(A-E)) = 3 -
> rk(A-E) =
> > 3-1 = 2
> > dim(Eig(7)) = ... = 3- rk(A-7E) = 3-2 = 1
> > Daraus darf ich folgern dass die Matrix
> diagonalisierbar
> > ist
>
> Aus was?
Aus dem Satz: (Zitat Wikipedia)
Ist eine Matrix diagonalisierbar, so ist die geometrische Vielfachheit ihrer Eigenwerte gleich der jeweiligen algebraischen Vielfachheit. Das bedeutet, die Dimension der einzelnen Eigenräume stimmt jeweils mit der algebraischen Vielfachheit der entsprechenden Eigenwerte im charakteristischen Polynom der Matrix überein.
>
> > und sie hat die folgende Form: Auf der Hauptdiagonalen
> > stehen die 3 Eigenwerte 1,1,7.
>
> Wieso ist denn deine Matrix nun diagonalisierbar?
>
> Ich sehe bisher kein Argument, das dafür spricht.
>
> Grüße
> ChopSuey
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Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Guten Abend,
> > > ich bereite mich gerade auf eine Klausur vor und
> > rechne
> > > einige Aufgaben hier aus dem Forum.
> > > Ist meine Lösung für diese Aufgabe so richtig?
> > >
> > > Das char. Polynom lautet: [mm](t-7)(t-1)^2[/mm]
> > > Um zu zeigen, dass die Matrix Diagonalisierbar ist,
> > > prüfe ich die Eigenräume.
> >
> > Auf was?
>
> Auf die Dimension der Eigenräume.
Ok.
>
> >
> > > Es gilt:
> > > dim(Eig(1)) = dim(Ker(A-E))=n-dim(Im(A-E)) = 3 -
> > rk(A-E) =
> > > 3-1 = 2
> > > dim(Eig(7)) = ... = 3- rk(A-7E) = 3-2 = 1
> > > Daraus darf ich folgern dass die Matrix
> > diagonalisierbar
> > > ist
> >
> > Aus was?
>
> Aus dem Satz: (Zitat Wikipedia)
> Ist eine Matrix diagonalisierbar, so ist die geometrische
> Vielfachheit ihrer Eigenwerte gleich der jeweiligen
> algebraischen Vielfachheit. Das bedeutet, die Dimension der
> einzelnen Eigenräume stimmt jeweils mit der algebraischen
> Vielfachheit der entsprechenden Eigenwerte im
> charakteristischen Polynom der Matrix überein.
Richtig. Du hast das an dieser Stelle aber nirgendwo erwähnt. Das solltest du zumindest kurz erwähnen, sonst stehen da nur Zahlen.
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> >
> > > und sie hat die folgende Form: Auf der Hauptdiagonalen
> > > stehen die 3 Eigenwerte 1,1,7.
> >
> > Wieso ist denn deine Matrix nun diagonalisierbar?
> >
> > Ich sehe bisher kein Argument, das dafür spricht.
> >
> > Grüße
> > ChopSuey
> >
Viele Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:44 Fr 30.07.2010 | | Autor: | etoxxl |
Alles klar, Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:35 Sa 31.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Das alles hättest Du einfacher haben können:
A ist symmetrisch und somit diagonalisierbar
FRED
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