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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 So 28.03.2010 | | Autor: | damulon |
| Aufgabe | | Beweisen oder wiederlegen sie: die komposition zweier umkehrbarer funktionen ergibt wieder eine umkehrbare funktion.(d.h. die injektion einer injektion ist eine injektion.) |
hi alle zusammen,
ich wollt mal fragen ob mir da jemand weiterhelfen könnte weil ich da überhaupt nicht weiß wie ich da an die aufgabe rangehen soll.danke schon im vorraus.
lg damulon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:06 So 28.03.2010 | | Autor: | pelzig |
Was ist hier mit umkehrbar gemeint? Bijektiv? Weil der Satz "die Injektion einer Injektion ist eine Injektion" macht für mich überhaupt keinen Sinn.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:12 So 28.03.2010 | | Autor: | damulon |
hi
da liegt nämlich auch mein problem...ich weiß net was mit diesem satz gemint ist...
mit umkehrbar ist injektiv gemeint...
lg damulon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 So 28.03.2010 | | Autor: | pelzig |
Okay nachdem was du jetzt geschrieben hast ist also zu zeigen: "Sind [mm] $f:X\to [/mm] Y$ und [mm] $g:Y\to [/mm] Z$ injektiv, dann auch [mm] $g\circ [/mm] f$." Jetzt solltest du erstmal rausfinden, wie ihr injektiv überhaupt definiert habt.
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 So 28.03.2010 | | Autor: | Blech |
> Beweisen oder wiederlegen sie: die komposition zweier
> umkehrbarer funktionen ergibt wieder eine umkehrbare
> funktion.(d.h. die injektion einer injektion ist eine
> injektion.)
Normalerweise verlangt man, daß eine Funktion $f:\ [mm] A\to [/mm] B$ bijektiv sein muß, um umkehrbar zu sein. Bei der Surjektivität kann man ggf durch die Einschränkung auf $f':\ [mm] A\to [/mm] f(A)$ nachhelfen. Aber so wie ich die Sache kenne, ist das "d.h." nicht richtig.
Also, Du hast zwei Funktionen $f:\ [mm] A\to [/mm] B$ und $g:\ [mm] B\to [/mm] C$, die beide injektiv und surjektiv sind.
Zu zeigen ist, daß [mm] $f\circ [/mm] g$ injektiv und surjektiv ist, und das tust Du, indem Du in die Definitionen von Injektivität und Surjektivität überprüfst.
Für Injektivität mußt Du also beweisen, daß:
$x, [mm] y\in [/mm] A,\ [mm] x\neq [/mm] y\ [mm] \Longrightarrow\ (f\circ [/mm] g)(x) = f(g(x)) [mm] \neq f(g(y))=(f\circ [/mm] g)(y)$
ciao
Stefan
EDIT: Sorry pelzig, ich hatte Deine Antwort nicht gesehen. Mein Browser spinnt in der Hinsicht manchmal. Überaggressives caching. =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:02 So 28.03.2010 | | Autor: | pelzig |
Also ich würde umkehrbar normalerweise auch als bijektiv definieren, aber Injektionen sind genau wie Surjektionen schon in einem gewissen Sinne umkehrbar:
[mm] $f:X\to [/mm] Y$ ist injektiv [mm] \gdw $\exists g:Y\to X:g\circ f=\operatorname{id}_X$
[/mm]
[mm] $f:X\to [/mm] Y$ ist surjektiv [mm] \gdw $\exists g:Y\to X:f\circ g=\operatorname{id}_Y$
[/mm]
Gruß, Robert
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