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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Fr 27.05.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo an alle!
Ich bearbeite grad so eine Aufgabe, wo folgendes auftaucht:
[mm] exp(\lambda E_{n}) [/mm] = [mm] e^{\lambda} E_{n} [/mm] wobei [mm] E_{n} [/mm] die Einheitsmatrix ist.
Wieso gilt diese Gleichheit?
Ich hab mir dazu folgendes überlegt:
[mm] exp(\lambda E_{n}) [/mm] = [mm] e^{\lambda E_{n}}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!} \pmat{ \lambda & 0 & ... \\ 0 & \lambda & ... \\ ... & ... & ... \\ 0 & 0 & \lambda}^{k} [/mm]
= [mm] \pmat{ 1 & 0 & ... \\ 0 & 1 & ... \\ ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 1 } \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k!} \pmat{ \lambda & 0 & ... \\ 0 & \lambda & ... \\ ... & ... & ... \\ 0 & 0 & \lambda}^{k} [/mm]
= [mm] \pmat{ 1 & 0 & ... \\ 0 & 1 & ... \\ ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] + { [mm] \lambda [/mm] & 0 & ... [mm] \\ [/mm] 0 & [mm] \lambda [/mm] & ... [mm] \\ [/mm] ... & ... & ... [mm] \\ [/mm] 0 & 0 & [mm] \lambda} [/mm] (e-1)
Und jetzt? wie mache ich weiter, so dass ich am ende auf [mm] e^{\lambda} E_{n} [/mm] komme? Wo ist mein Fehler?
Vielen dank für eure Hilfe!
VHN
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Hallo!
Denk daran, dass [mm] $(\lambda\mathrm{id})^n=\lambda^n\mathrm{id}$! [/mm] Dann gilt nämlich:
[mm] $\exp(\lambda\mathrm{id})=\summe_{n=0}^\infty \bruch{1}{n!}(\lambda\mathrm{id})^n=\summe_{n=0}^\infty \bruch{1}{n!}\lambda^n\mathrm{id}=\mathrm{id}\summe_{n=0}^\infty\bruch{\lambda^n}{n!}$...
[/mm]
Gruß, banachella
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