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Forum "Schul-Analysis" - e-fkt. gleichseitiges dreieck
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e-fkt. gleichseitiges dreieck: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:18 So 22.01.2006
Autor: karpfen

Aufgabe
Für jedes t > 0 ist eine Funktion [mm] f_t [/mm] gegeben durch
[mm] f_t (x)=(x^2-t^2)e^{-x^2} [/mm] ;x ∈ R.
Ihr Schaubild sei Kt.
a) Untersuche [mm] K_t [/mm] auf Symmetrie, gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen, Hoch- und Tiefpunkte sowie auf
Asymptoten.
Zeichne [mm] K_1 [/mm] für |x| ≤ 2. (LE 5cm; Querformat)
Auf welcher Kurve liegen die Hochpunkte aller [mm] K_t? [/mm]
b) Die Tangenten in den Schnittpunkten von [mm] K_t [/mm] mit der x-Achse und die x-Achse schließen ein Dreick ein. Sein
Flächeninhalt sei A(t). Berechne A(t).
Für welches t ist A(t) maximal?
c) Zeige, dass keines der in Teilaufgabe b) beschriebenen Dreiecke gleichseitig ist.

Mein Problem und meine Frage bezieht sich auf die Teilaufgabe c)
Zunächst meine Ergebnisse für aufgabe a und b, die in c benötigt werden

Nullstellen: x=t und x=-t
damit grundseite des Dreiecks g=2t

y= [mm] \bruch{2t}{e^(t^2)}- \bruch{2t^2}{e^(t^2)} [/mm] für die tangente durch (t|0)

y= [mm] \bruch{2t}{e^(t^2)}- \bruch{2t^2}{e^(t^2)} [/mm]
für die andere

die höhe des dreieckes ist der y-wert des schnittpunktes der 2 tangenten
dabei ergibt sich (0|- [mm] \bruch{2t^2}{e^(t^2)} [/mm] ) also
h=- [mm] \bruch{2t^2}{e^(t^2)} [/mm]

durch einsetzten in die Formel A= [mm] \bruch{gh}{2} [/mm]
kommt man dann auf die folgende funktion

[mm] A(t)=-2t^3 e^{-t^2} [/mm]

diese hat bei t= [mm] \bruch{ \wurzel{6}}{2} [/mm] den einzigen hochpunkt der im definitionsbereich von t liegt

kommen wir zu meiner eigentlichen frage:
in aufgabe c habe ich 2 lösungsansätze

1. Die Fläche eines gleichseitigen dreiecks berechnet man allgemein mit

A= [mm] \bruch{ \wurzel{3}}{4}a^2 [/mm]
und wir wissen, das die grundseite immer g=2t ist also müsste auch a=2t sein! eingesetzt: A= [mm] \wurzel{3} [/mm] t²
Dies müsste man mit A(t) gleichsetzten und zeigen, dass es keine lösung gibt

2. man nimmt sich eine der schenkel und stellt eine funktion zur berechnung der Länge auf und setzt sie mit 2t gleich
Eine der möglichen Funktionen wäre
L(t)= [mm] \wurzel{- \bruch{2t^2}{e^(t^2)} +t²} [/mm]

bei beiden möglichkeiten übersteigt es aber meine fähigkeiten zu zeigen, dass es keine lösung gibt!
ich wäre euch sehr dankbar wenn ihr zeigen könntet, wie ich einen meiner lösungswege zuende führen könnte oder mir einen leichteren zeigt

viel dank schonmal DerKarpfen
        
Bezug
e-fkt. gleichseitiges dreieck: Korrekturen + Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:56 So 22.01.2006
Autor: Loddar

Hallo Karpfen!


> Nullstellen: x=t und x=-t
> damit grundseite des Dreiecks g=2t

[daumenhoch]


  
> y= [mm]\bruch{2t}{e^(t^2)}- \bruch{2t^2}{e^(t^2)}[/mm] für die
> tangente durch (t|0)

Na, da ist Dir doch glatt das $x_$ entgangen:

[mm] $y_{(+t)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2t}{e^{t^2}}*\red{x}-\bruch{2t^2}{e^{t^2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2t}{e^{t^2}}*(x-t)$ [/mm]

  
> y= [mm]\bruch{2t}{e^(t^2)}- \bruch{2t^2}{e^(t^2)}[/mm]
> für die andere

[notok] a.) gleicher Fehler wie oben und b.) kleiner Vorzeichenfehler:

[mm] $y_{(-t)} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{2t}{e^{t^2}}*x [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] \bruch{2t^2}{e^{t^2}} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{2t}{e^{t^2}}*(x\red{+}t)$ [/mm]


  
> die höhe des dreieckes ist der y-wert des schnittpunktes
> der 2 tangenten
> dabei ergibt sich (0|- [mm]\bruch{2t^2}{e^(t^2)}[/mm] ) also
> h=- [mm]\bruch{2t^2}{e^(t^2)}[/mm]

[daumenhoch] Du könntest hier auch mit dem positiven Wert rechnen. Dann erhältst Du bei der Extremwertberechnung auch wirklich ein Maximum (und kein Minimum wie bei dieser Variante).



> durch einsetzten in die Formel A= [mm]\bruch{gh}{2}[/mm]
> kommt man dann auf die folgende funktion
>  
> [mm]A(t)=-2t^3 e^{-t^2}[/mm]

[daumenhoch]



> diese hat bei t= [mm]\bruch{ \wurzel{6}}{2}[/mm] den einzigen
> hochpunkt der im definitionsbereich von t liegt

[notok] [ok] Bei Deiner Variante mit der negativen Höhe müsstest Du aber einen Tiefpunkt erhalten (siehe oben).


> 2. man nimmt sich eine der schenkel und stellt eine
> funktion zur berechnung der Länge auf und setzt sie mit 2t
> gleich
> Eine der möglichen Funktionen wäre
> L(t)= [mm]\wurzel{- \bruch{2t^2}{e^(t^2)} +t²}[/mm]

Spontan war meine Idee die mit der Längenermittlung. Hier ist Dir allerdings ein kleiner Fehler unterlaufen:

$L(t) \ = \ [mm] \wurzel{\left(-\bruch{2t^2}{e^{t^2}}\right)^{\red{2}}+t^2 \ } [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\bruch{4t^4}{\left(e^{t^2}\right)^2}+t^2 \ } [/mm] \ = \ 2t$

Diesen Ausdruck nun weitestgehend zusammenfassen und vereinfachen. Ich habe erhalten:

[mm] $e^{t^2} [/mm] - [mm] \bruch{2}{\wurzel{3}}*t [/mm] \ = \ 0$


Diese Gleichung lässt sich nicht geschlossen lösen. Aber berechne hier als Nebenfunktion [mm] $\Delta [/mm] (t) \ = \ [mm] e^{t^2} [/mm] - [mm] \bruch{2}{\wurzel{3}}*t$ [/mm] das (absolute) Minimum und zeige, dass dieses einen positiven Funktionswert [mm] $\Delta_{\min} [/mm] \ > \ 0$ hat.

Daraus folgt dann unmittelbar die Behauptung.


Gruß
Loddar

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e-fkt. gleichseitiges dreieck: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:08 So 22.01.2006
Autor: karpfen

Danke sehr !!!ich möchte nurnoch zu meiner verteidigung sagen, dass mir die fehler alle nur beim abschreiben unterlaufen sind und ich die selbe endgleichung errechnet habe und ich dann erst vor meinem problem stand ^^

aber jetzt bin ich wieder klüger :) merci DerKarpfen
Bezug
                
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e-fkt. gleichseitiges dreieck: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:27 So 22.01.2006
Autor: karpfen

jetzt hab ich doch noch eine frage und zwar ist mir nicht 100% klar warum es ausreicht zu zeigen, dass die gebildete nebenfunktion ein positives absolutes minimum hat... (vllt weil die fkt ja dann keine nullstellen hat und daraus lässt sich ableiten, dass die gleichung auch nicht gelöst werde kann??)und ich find auch gerade nicht den weg wie du auf die letzte gleichung kommst... ich habe doch nur eine ähnliche gefunden wäre nett wenn du das noch schnell abtippen könntest!!

edit: ok die gleichung hab ich selber doch gefunden
bleibt nur die andere frage!
mfg derkarpfen

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e-fkt. gleichseitiges dreieck: Richtig begründet!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:55 So 22.01.2006
Autor: Loddar

Hallo Karpfen!


> weil die fkt ja dann keine nullstellen hat und daraus lässt
> sich ableiten, dass die gleichung auch nicht gelöst werde
> kann??

Genau die richtige Argumentation! [ok]


Gruß
Loddar

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e-fkt. gleichseitiges dreieck: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:12 So 22.01.2006
Autor: karpfen

Die Mathematik will irgendwie nicht, dass ich heute schlafen geh und zwar wollte ich jetzt das minimum bestimmen, leider steh ich dann wieder vor dem problem, dass ich die gleichung nicht lösen kann!

die ableitung der nebenfkt ist ja

[mm] d'(x)=2te^{t²} [/mm] - [mm] \bruch{2}{ \wurzel{3}} [/mm]

zur berechnung der extremwerte

[mm] 0=te^{t²} [/mm] - [mm] \bruch{1}{ \wurzel{3}} [/mm]

[mm] \bruch{1}{ \wurzel{3}}=te^{t²} [/mm]

und nu?


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e-fkt. gleichseitiges dreieck: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:11 So 22.01.2006
Autor: noebi

Ich denke nicht, dass man das analytisch lösen kann. Eine  Möglichkeit wäre, graphisch die Schnittpunkte zwischen [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}*t} [/mm] und [mm] e^{t²} [/mm] zu finden.
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e-fkt. gleichseitiges dreieck: Newton-Verfahren
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:33 So 22.01.2006
Autor: Loddar

Guten Morgen Karpfen!

Oh je, da scheuche ich Dich mit meinem Lösungsansatz von einer Thematik in die andere ...


Um nun die Nullstelle(n) der Ableitung zu ermitteln, kannst Du auch ein Näherungsverfahren wie z.B. MBNewton-Verfahren anwenden.


Gruß
Loddar

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