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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Mi 14.01.2009 | | Autor: | julmarie |
a) untersuche die Funktionenschar zu ft(x)=x(t-ln(x)) mit x>0.
b) Auf welcher Kurve liegen alle extrempunkte?
c)Können verschiedene Graphen der Schar gemeinsame Punkte haben?
Kann mir hier vielleicht jemand bei helfen? Irgendwelche Ansätze? Meine kleine Cousine hat gefragt ob ich ihr helfen kann, aber sowas hatte ich nie in der schule, nur die ganz normale Kurvendiskussion mit e- FUnktionen aber keine In-Funktionen!
WÄre super, auch wenns nur ein Ansatz ist!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Mi 14.01.2009 | | Autor: | abakus |
> a) untersuche die Funktionenschar zu ft(x)=x(t-ln(x)) mit
> x>0.
> b) Auf welcher Kurve liegen alle extrempunkte?
> c)Können verschiedene Graphen der Schar gemeinsame Punkte
> haben?
>
> Kann mir hier vielleicht jemand bei helfen? Irgendwelche
> Ansätze? Meine kleine Cousine hat gefragt ob ich ihr helfen
> kann, aber sowas hatte ich nie in der schule, nur die ganz
> normale Kurvendiskussion mit e- FUnktionen aber keine
> In-Funktionen!
> WÄre super, auch wenns nur ein Ansatz ist!
Hallo,
das musst du nach Produktregel ableiten. Die Ableitung von ln(x) ist übrigens 1/x.
Viele Grüße
Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Mi 14.01.2009 | | Autor: | julmarie |
wäre dann die erste ABleitung folgende:
1/x *x + /t-ln(x))*1 ??
weil ist gilt ja u`*v+u*v` und u ist doch das in der klammer und v das davor?!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Mi 14.01.2009 | | Autor: | julmarie |
also war meine ableitung außer das -1 gar nicht mal so schlecht :)
Ist dann also die 2te ABleitung : (t-ln(x))-1* (-1/x) = (1/x)* (t-ln(x)) ?
Die nullstelle ist ja 0
Aber wie bekomme ich denn die Extrempunkte raus? Die 1te ABleitung gleich null setzen, aber wie löst man sowas auf?
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Hallo,
wenn wir als 1.Ableitung folgendes haben:
[mm] \\f_{t}'(x)=(t-ln(x))-1 [/mm] brauchen wir nun nicht mehr die Produktregel um abzuleiten denn es gibt kein Produkt 
Dein [mm] \\t [/mm] ist eine Konstante und fällt beim Ableiten weg. Die [mm] \\-1 [/mm] ist auch eine Zahl und fällt ebenfalls beim ableiten weg.
Nun ist dann die 2. Ableitung wie folgt:
[mm] f_{t}''(x)=-\bruch{1}{x}
[/mm]
So und nun zu den Extempunkten:
Wie du richtig festgestellt hast müssen wir die erste Ableitung 0 setzen, also:
[mm] \\(t-ln(x))-1=0
[/mm]
Jetzt etwas umstellen:
[mm] \\ln(x)=t-1
[/mm]
Nun wollen wir ja nach [mm] \\x [/mm] auflösen. Dazu benutzen wir die [mm] \\e-Funktion:
[/mm]
[mm] \\e^{ln(x)}=e^{t-1}
[/mm]
[mm] \\x=e^{t-1}
[/mm]
Jetzt die hinreichende Bedingung, mit [mm] f_{t}'(x)=0 \wedge f_{t}''(x)\not=0
[/mm]
Jetzt bist du wieder dran. Es ist eine normale Kurvendiskussion. Das habt ihr in der Schule doch gemacht.
[mm] f_{t}''(e^{t-1})=.... [/mm]
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:53 Mi 14.01.2009 | | Autor: | julmarie |
Danke , diese komischen zeichen verwirren nur ein wenig.. dann mach ich mich jetzt nochmal ran!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Mi 14.01.2009 | | Autor: | julmarie |
Also ist der Extremwert ein Hochpunkt, oder? denn das ergebnis ist kleiner null!
aber wie finde ich raus auf welcher kurve alle extrempunkte liegen? Ich hab mit funktionsscharen leider noch nicht gearbeitet und hab keine Ahnung wie ich an aufgabe b) und c) rangehen muss..
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Hallo,
Mit Funktionsscharen funktioniert es im Prinzip genauso:
Also hier waren wir stehen geblieben:
[mm] f_{t}''(e^{t-1})=-\bruch{1}{e^{t-1}} [/mm] <0 [mm] \Rightarrow [/mm] Hochpunkt!
Damit haben wir [mm] \\HP(e^{t-1})|"?")
[/mm]
Wir kommen wir an "?" ran?
Ganz einfach indem wir den Kandidaten (also [mm] e^{t-1}) [/mm] in [mm] f_{t}(x) [/mm] einsetzen.
Also:
[mm] f_{t}(x)=e^{t-1}\cdot(t-ln(e^{t-1}))=e^{t-1}\cdot(t-ln(e^{t-1}))=e^{t-1}\cdot(t-(t-1))=e^{t-1}.
[/mm]
Damit ist der fehlende [mm] \\y-Wert [/mm] ebenfalls [mm] e^{t-1}
[/mm]
Damit haben wir als Hochpunkte [mm] HP(e^{t-1}|e^{t-1})
[/mm]
Nun schauen wir uns die Koordinaten des Hochpunktes an:
[mm] \\x=e^{t-1} [/mm] und
[mm] \\y=e^{\red{t}-1}
[/mm]
Nun stellen wir eine der Gleichungen nach [mm] \\t [/mm] um, wie folgt:
[mm] \\x=e^{t-1} \gdw ln(x)=ln(e^{t-1}) \gdw \\ln(x)=t-1
[/mm]
[mm] \Rightarrow \\t=\red{ln(x)+1}
[/mm]
Das setzen wir in die 2 Gleichung ein:
[mm] \\y=e^{(\red{ln(x)+1})-1}=e^{ln(x)}=x
[/mm]
Also liegen alle Hochpunkte der Funktionsschar [mm] \\f_{t}(x) [/mm] auf der Geraden [mm] \\y=x.
[/mm]
Damit ist [mm] \\b) [/mm] fertig.
Was sind deine Gedanken zu [mm] \\c)?
[/mm]
Gibt es gemeinsame Punkte? Nehme dir einfach 2 unterschiedliche Punkte.
Bsp:
[mm] x\cdot(t_{1}-ln(x))=x\cdot(t_{2}-ln(x))
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] ?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:34 Mi 14.01.2009 | | Autor: | julmarie |
Erstmal schonmal vielen Dank für die super hilfe.. da wird sich meine cousine morgen ja freuen ! Vielen Dank.. werde mich jetzt noch an c machen..
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