e-N-Definition < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:11 Do 08.11.2007 | | Autor: | blueeyes |
| Aufgabe | Zeigen Sie mit Hilfe der [mm] \in-N-Definition:
[/mm]
(a) [mm] \lim_{n \to \infty}(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})=0.
[/mm]
(b) [mm] \lim_{n \to \infty}\wurzel[n]{n}=1.
[/mm]
(c) Ist [mm] (a_n)_n_\in_\IN [/mm] eine reelle Folge mit [mm] a_n\ge0 [/mm] und [mm] \lim_{n \to \infty}a_n=a, [/mm] so gilt
[mm] \lim_{n \to \infty}\wurzel{a_n}=\wurzel{a}.
[/mm]
Hinweiß zu b): Definieren Sie [mm] h_n:= \wurzel[n]{n}-1 [/mm] und zeigen Sie mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes, dass
[mm] (1+h_n)^2\ge {n\choose2}k²_n, n\ge2. [/mm] |
Das sieht alles sehr kompliziert. Für einen Ansatz würde ich mich bei euch sehr bedanken. LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:25 Do 08.11.2007 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo blueeyes,
> (b)
> [mm]\lim_{n \to \infty}\wurzel[n]{n}=1.[/mm]
Wenn du schon keine eigenen Lösungsansätze liefern willst, solltest du dich hier zumindest mal etwas umsehen.
Viele Grüße
Karl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 So 11.11.2007 | | Autor: | blueeyes |
ok,ich habe mich im forum umgesehen und konnte vereinzelte ansätze zu dieser aufgabe finden.zu der einen gleichung mehr,zu ner anderen wieder weniger. die aufgaben sind nicht gerade leicht und schnell zu lösen.
unsere e-N-definition aus der vorlesung lautete so:
Sei [mm] (a_n)_n_\in_\IN [/mm] eine folge in [mm] \IK. [/mm] Die folge heißt konvergent gegen [mm] a\in\IK, [/mm] falls gilt: zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es ein [mm] N\in\IN, [/mm] sodass [mm] |a_n-a|<\varepsilon [/mm] für alle [mm] n\geN. [/mm] Man nennt dann a grenzwert oder limes der folge [mm] (a_n)_n_\in_\IN.
[/mm]
Schreibweise: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a, [/mm] bzw. [mm] a_n\to [/mm] a, [mm] n\to\infty.
[/mm]
nur wie wende ich diese definition auf die gleichung a) zum beispiel an? kann mir jemand helfen? LG
|
|
|
| |
|
> unsere e-N-definition aus der vorlesung lautete so:
>
> Sei [mm](a_n)_n_\in_\IN[/mm] eine folge in [mm]\IK.[/mm] Die folge heißt
> konvergent gegen [mm]a\in\IK,[/mm] falls gilt: zu jedem
> [mm]\varepsilon>0[/mm] gibt es ein [mm]N\in\IN,[/mm] sodass
> [mm]|a_n-a|<\varepsilon[/mm] für alle [mm]n\geN.[/mm] Man nennt dann a
> grenzwert oder limes der folge [mm](a_n)_n_\in_\IN.[/mm]
> Schreibweise: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a,[/mm] bzw.
> [mm]a_n\to[/mm] a, [mm]n\to\infty.[/mm]
>
> nur wie wende ich diese definition auf die gleichung a) zum
> beispiel an? kann mir jemand helfen? LG
Hallo,
gut, daß die Definition dasteht.
Du willst ja jetzt zeigen, daß die durch [mm] a_n:=(\wurzel{n+1}-\wurzel{n}) [/mm] definierte Folge gegen 0 konvergiert.
In direkter Anwendung Deiner Definition bedeutet das, daß folgendes zu zeigen ist:
> zu jedem
> [mm]\varepsilon>0[/mm] gibt es ein [mm]N\in\IN,[/mm] sodass
> [mm]|\wurzel{n+1}-\wurzel{n}-0|<\varepsilon[/mm] für alle [mm]n\geN.[/mm].
Wie tut man das?
Es sei [mm] \varepsilon [/mm] >0.
Und nun mußt Du ein passendes N suchen, so daß tatsächlich [mm] |\wurzel{n+1}-\wurzel{n}-0|<\varepsilon[/mm] [/mm] für alle [mm]n\geN.[/mm] gilt.
Dieses N wird vermutlich vom [mm] \varepsilon [/mm] abhängen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 So 11.11.2007 | | Autor: | blueeyes |
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})|=0 [/mm] (0 ist Grenzwert)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})|<\varepsilon [/mm] |Quadrieren
[mm] (\wurzel{n+1}-\wurzel{n})²<\varepsilon²
[/mm]
[mm] (n+1)-2\wurzel{(n+1)n}+n<\varepsilon²
[/mm]
oder hätte ich vorher [mm] -\wurzel{n} [/mm] auf die rechte seite bringen sollen? wäre das sinnvoller gewesen?
Ich mach nun einfach mal weiter:
[mm] -2\wurzel{(n+1)n}<\varepsilon² [/mm] -(n+1) -n
[mm] -2\wurzel{(n+1)n}<\varepsilon² [/mm] -2n-1
wie verfahre ich nun. dividiere ich durch -2 und quadriere anschließend? das würde jedoch nicht viel sinn machen,weil wenn ich so vorgehen würde, im zähler des bruches nachher ein sehr langer wert stehen würde. Mhh...was mach ich nun? LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:27 So 11.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo blueeyes!
Hier mal meine Umformungen:
[mm] $$a_n [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{n+1}-\wurzel{n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\left( \ \wurzel{n+1}-\wurzel{n} \ \right)*\blue{\left( \ \wurzel{n+1}+\wurzel{n} \ \right)}}{\blue{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n+1-n}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}$$
[/mm]
Damit gilt auch:
[mm] $$\left| \ a_n-0 \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left|\bruch{1}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}\right| [/mm] \ = \ \ [mm] \bruch{1}{\left|\wurzel{n+1}+\wurzel{n}\right|} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}} [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$$
[/mm]
[mm] $$\bruch{1}{\varepsilon} [/mm] \ < \ [mm] \wurzel{n+1}+\wurzel{n}$$
[/mm]
Und nun [mm] $\wurzel{n} [/mm] \ < \ [mm] \wurzel{n+1}$ [/mm] abschätzen. Anschließend lässt sich ziemlich simpel nach $n \ > \ ...$ umstellen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 So 11.11.2007 | | Autor: | blueeyes |
aha,hast also nen ganz anderen weg als ich versucht. erstmal auf soetwas kommen,gut. nur noch eine frage,nachvollziehen kann man alles,nur was meinst du damit,dass man [mm] \wurzel{n}<\wurzel{n+1} [/mm] nun abschätzen soll. LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:06 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo blueeyes!
Ich ersetze das [mm] $\wurzel{n}$ [/mm] durch ein [mm] $\wurzel{n+1}$ [/mm] und weiß, dass ich den entsprechenden Term nun größer gemacht habe. Damit ist er auch erst recht größer als [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] .
$$ [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] \ < \ [mm] \wurzel{n+1}+\red{\wurzel{n}} [/mm] \ [mm] \red{<} [/mm] \ [mm] \wurzel{n+1}+ [/mm] \ [mm] \red{\wurzel{n+1}}$$
[/mm]
Es verbleibt also nun die zu lösende Ungleichung:
[mm] $$\bruch{1}{\varepsilon} [/mm] \ < \ [mm] 2*\wurzel{n+1}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:23 Mo 12.11.2007 | | Autor: | blueeyes |
ok,diese ungleichung soll nun nach n aufgelöst werden. ich dividiere durch 2 und quadriere das ganze anschließend. so komme ich auf das ergebnis:
n> [mm] \bruch{1}{4\varepsilon²}-1 [/mm]
was genau stelle ich nun damit an? In die Ausgangsgleichung etwa einsetzen und muss dabei auf 0 kommen,als probe quasi?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:13 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Blech |
> ok,diese ungleichung soll nun nach n aufgelöst werden. ich
> dividiere durch 2 und quadriere das ganze anschließend. so
> komme ich auf das ergebnis:
>
> n> [mm]\bruch{1}{4\varepsilon²}-1[/mm]
>
> was genau stelle ich nun damit an? In die Ausgangsgleichung
> etwa einsetzen und muss dabei auf 0 kommen,als probe quasi?
Was wolltest Du denn haben? Angela hatte es doch schon gesagt (mit einigen kleineren edits meinerseits =):
"Wie tut man das?
Es sei [mm] \varepsilon [/mm] >0 beliebig.
Und nun mußt Du ein passendes [mm] $N\in\IN$ [/mm] suchen, so daß tatsächlich [mm] |\wurzel{n+1}-\wurzel{n}-0|<\varepsilon[/mm] [/mm] für alle [mm]n\ge N.[/mm] gilt.
Dieses N wird vermutlich vom [mm] \varepsilon [/mm] abhängen."
In Deinem Fall ist das n noch falsch, weil Loddar falsch rum abgeschätzt hat:
[mm] $\bruch{1}{\varepsilon} [/mm] \ [mm] \overset{!}{<} [/mm] \ [mm] \wurzel{N+1}+\wurzel{N}$
[/mm]
Die Gleichung ist nicht gottgegeben, sondern wir suchen ein minimales N, so daß sie für alle n größer oder gleich N gilt.
Damit müssen wir andersrum abschätzen:
[mm] $\frac{1}{\varepsilon}\ [/mm] <\ [mm] 2\sqrt{N}$
[/mm]
Denn wenn N diese Ungleichung erfüllt, dann ist [mm] $\sqrt{N+1}+\sqrt{N}$ [/mm] erst recht größer als [mm] \tfrac{1}{\varepsilon}.
[/mm]
Jetzt hast Du eine Schranke, ab der alle n die gewünschte Eigenschaft besitzen, d.h. es konvergiert. =)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:31 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Moin Blech!
Ich muss zugeben, ich finde aber meinen angeblichen Fehler nicht ... daher bitte ich um entsprechende Aufklärung. 
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
> Ich muss zugeben, ich finde aber meinen angeblichen Fehler
> nicht ... daher bitte ich um entsprechende Aufklärung.
Hallo,
das ist mein Metier:
Du hattest ausgehend von [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] \ < \ [mm] \wurzel{n+1}+{\wurzel{n}} [/mm] so abgeschätzt:
> $ [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] \ < \ [mm] \wurzel{n+1}+\red{\wurzel{n}} [/mm] \ [mm] \red{<} [/mm] \ [mm] \wurzel{n+1}+ [/mm] \ [mm] \red{\wurzel{n+1}} [/mm] $
==>
> $ [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] \ < \ [mm] 2\cdot{}\wurzel{n+1} [/mm] $
und damit die Wahl von N > $ [mm] \bruch{1}{4\varepsilon²}-1 [/mm] $ suggeriert.
Dieses N ist geringfügig zu klein (rechne es aus!), denn
man will ja später haben
... [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{\wurzel{N+1}+\wurzel{N}} [/mm] < [mm] \varepsilon,
[/mm]
also [mm] \bruch{1}{\varepsilon}< \wurzel{N+1}+\wurzel{N}< \wurzel{n+1}+\wurzel{n},
[/mm]
Man muß, um dieses N zu ermitteln, also "dicht an [mm] \bruch{1}{\varepsilon}" [/mm] rücken, und sich nicht hinter [mm] \wurzel{n+1}+\wurzel{n} [/mm] verschanzen.
Daher blechs Wahl von [mm] \bruch{1}{\varepsilon}< 2\wurzel{N}< \wurzel{N+1}+\wurzel{N}
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:14 Di 13.11.2007 | | Autor: | blueeyes |
Ah ja,ok gut,ich kann alles soweit nachvollziehen. Schon mal vielen Dank für eure Hilfe. Könntet ihr mir nur noch bei Aufgabe c) weiterhelfen?
Wie kann man nachweisen,dass wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n=a [/mm] ist, auch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{a_n}=\wurzel{a} [/mm] gilt?
Von einem Freund hab ich diesen Tipp bekommen so umzuformen:
[mm] |a_n-a|=|\wurzel{a_n}-\wurzel{a}|*|\wurzel{a_n}+\wurzel{a}|
[/mm]
Nur wie kommt er auf diese Gleichung? Kann mir jemand helfen? LG
|
|
|
| |
|
> Ah ja,ok gut,ich kann alles soweit nachvollziehen. Schon
> mal vielen Dank für eure Hilfe. Könntet ihr mir nur noch
> bei Aufgabe c) weiterhelfen?
>
> Wie kann man nachweisen,dass wenn
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=a[/mm] ist, auch
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{a_n}=\wurzel{a}[/mm] gilt?
>
> Von einem Freund hab ich diesen Tipp bekommen so
> umzuformen:
>
> [mm]|a_n-a|=|\wurzel{a_n}-\wurzel{a}|*|\wurzel{a_n}+\wurzel{a}|[/mm]
>
> Nur wie kommt er auf diese Gleichung? Kann mir jemand
> helfen? LG
>
Hallo,
an dem Tip ist was Wahres dran...
Du darfst aber nicht anfangen, blindlings irgendwas zu rechnen. Viel wichtiger als diese Umformungsdetail ist, daß Du Dir zunächst klarmachst, was zu tun ist.
Gegeben hast Du eine Folge [mm] (a_n), [/mm] von welcher bekannt ist, daß sie gegen a konvergiert.
Was das "varepsilon-technisch" zu bedeuten hat, wurde ja weiter oben besprochen, vielleicht solltest Du es Dir nochmal aufschreiben. (Erstens ist das immer nützlich, und zweitens habe ich das Gefühl, daß man es brauchen wird.)
Zeigen sollst Du, daß unter dieser Voraussetzung die Folge [mm] (b_n) [/mm] mit [mm] b_n:=\wurzel{a_n} [/mm] gegen [mm] \wurzel{a} [/mm] konvergiert.
Mach Dir an dieser Stelle klar, was zu zeigen ist: zu jedem etc....
Im Verlauf Deiner Bemühungen dann kommst Du an die Stelle
[mm] |\wurzel{a_n}-\wurzel{a}|= [/mm] ???
Die Wurzel würde man hier gerne loswerden, weil sie sowieso irgendwie lästig sind und Du aber vor allem den Wunsch haben solltest, die Voraussetzung zu verwenden.
Hier nun ist der Freundestip (3.binomische Formel) ein guter, und Du solltest ihn Dir unbedingt merken, weil man das ständig macht:
Erweitere (!!!) Deinen Ausdruck mit [mm] |\wurzel{a_n}+\wurzel{a}| [/mm] und laß Dich überraschen!
Du kannst anschließend gut abschätzen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Di 13.11.2007 | | Autor: | blueeyes |
Also,..ich habe [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{a_n}=\wurzel{a} [/mm] umgestellt.
[mm] |\wurzel{a_n}-\wurzel{a}|=0 [/mm] und dies hab ich nun erweiert.
[mm] \bruch{(|\wurzel{a_n}-\wurzel{a}|)*(|\wurzel{a_n}+\wurzel{a}|)}{|\wurzel{a_n}+\wurzel{a}|}
[/mm]
(mittels 3. binom. Formel:)
[mm] =\bruch{|a_n-a|}{\wurzel{a_n}+\wurzel{a}} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] |multiplizere mit [mm] \wurzel{a_n}+\wurzel{a} [/mm]
| dividiere anschließend mit [mm] \varepsilon,.. [/mm] dann kommt raus:
[mm] \bruch{1}{\varepsilon}*|a_n-a|< \wurzel{a_n}+ \wurzel{a}
[/mm]
Wenn das stimmen mag,dann ist meine Frage: Wie gehe ich nun vor,wahrscheinlich mit Abschätzen,nur wie macht man dies bezüglich dieser Aufgabe nur. LG
|
|
|
| |
|
Hallo blueeyes,
> Also,..ich habe
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{a_n}=\wurzel{a}[/mm]
> umgestellt.
>
> [mm]|\wurzel{a_n}-\wurzel{a}|=0[/mm] und dies hab ich nun erweiert.
>
> [mm]\bruch{(|\wurzel{a_n}-\wurzel{a}|)*(|\wurzel{a_n}+\wurzel{a}|)}{|\wurzel{a_n}+\wurzel{a}|}[/mm]
> (mittels 3. binom. Formel:)
>
> [mm]=\bruch{|a_n-a|}{\wurzel{a_n}+\wurzel{a}}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> |multiplizere mit [mm]\wurzel{a_n}+\wurzel{a}[/mm]
> | dividiere anschließend mit [mm]\varepsilon,..[/mm] dann kommt
> raus:
>
> [mm]\bruch{1}{\varepsilon}*|a_n-a|< \wurzel{a_n}+ \wurzel{a}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das stimmt zwar, bringt dich aber nicht so recht auf die richtige Fährte
> Wenn das stimmen mag,dann ist meine Frage: Wie gehe ich nun
> vor,wahrscheinlich mit Abschätzen,nur wie macht man dies
> bezüglich dieser Aufgabe nur. LG
Geben wir uns ein beliebiges $\red{\varepsilon}>0$ vor. Wir müssen sehen, dass wir gefälligst die Differenz $|\sqrt{a_n}-\sqrt{a}|<\varepsilon$ bekommen
Lass uns nochmal kurz hierhin zurückgehen:
$|\sqrt{a_n}-\sqrt{a}|=|a_n-a|\cdot{}\frac{1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a}$
Hier halten wir mal inne und überlegen uns, wie wir das weiter abschätzen können.
Nun, aus $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$ wissen wir, dass es ein $n_1\in\IN$ gibt, so dass für alle $n>n_1$ gilt $|a_n-a|<\varepsilon'$ für beliebiges vorgegebenes $\varepsilon'>0$
Wir kriegen also die Differenz $|a_n-a|$ beliebig klein, also finden wir bestimmt auch ein $n_2\in\IN$, so dass für alle $n>n_2$ gilt:
$|a_n-a|<\varepsilon\cdot{}2\sqrt{a}$ mit unserem (beliebigen) ganz oben vorgegebenes $\red{\varepsilon}>0$
Was ist nun mit dem zweiten Term $\frac{1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a}$
Die Wurzelfunktion ist ja bekanntermaßen (streng) monoton steigend, also wir bestimmt irgendwann $\sqrt{a_n}>\sqrt{a}$ werden.
dh. es gibt ein $n_3\in\IN$, so dass für alle $n>n_3$ gilt: $\sqrt{a_n}>\sqrt{a}$
Damit für alle $n>n_3$ aber $\sqrt{a_n}+\sqrt{a}>\sqrt{a}+\sqrt{a}=2\sqrt{a}$
Gehen wir zum Kehrwert über: $\frac{1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a}}<\frac{1}{2\sqrt{a}}$ für alle $n>n_3$
Wenn wir nun $N:=max\{n_2,n_3\}$ wählen, was gilt dann für unsere Abschätzung?
$|\sqrt{a_n}-\sqrt{a}|=\underbrace{|a_n-a|}_{<\varepsilon\cdot{}2\sqrt{a}}\cdot{}\underbrace{\frac{1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a}}}_{<\frac{1}{2\sqrt{a}}}<\varepsilon\cdot{}2\sqrt{a}\cdot{}\frac{1}{2\sqrt{a}}=\red{\varepsilon}$ für alle $n>N$
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Di 13.11.2007 | | Autor: | koyLe |
> dh. es gibt ein $ [mm] n_3\in\IN [/mm] $, so dass für alle $ [mm] n>n_3 [/mm] $ gilt: $ [mm] \sqrt{a_n}>\sqrt{a} [/mm] $
Das wäre der Fall, wenn sich die Folge von oben an den Grenzwert nähert. Muss das denn zwangsläufig so sein?
|
|
|
| |
|
Hallo koyLe,
ja, du hast recht,
ich bin in meiner unbeschreiblichen Unachtsamkeit in meiner Argumentation statt von [mm] $\sqrt{a_n}$ [/mm] von [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] ausgegangen ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Aber man kann es - glaube ich - ausbessern:
Die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] strebt gegen $a$
Dann gibt es einen Index [mm] $N_1$, [/mm] so dass für alle [mm] $n>N_1$ [/mm] gilt: [mm] $a_n>\frac{a}{2}$
[/mm]
Ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] monoton fallend, so gilt das vom ersten Folgenglied an, ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] monoton steigend oder alternierend, so gibt es solch ein [mm] $N_1$ [/mm] hinreichender Größe
Dann gilt aber auch für alle [mm] $n>N_1$: $\sqrt{a_n}>\sqrt{\frac{a}{2}}$
[/mm]
Also [mm] $\sqrt{a_n}+\sqrt{a}>\sqrt{\frac{a}{2}}+\sqrt{a}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{2a}}{\sqrt{2}}$
[/mm]
Damit dann [mm] $\frac{1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a}}<\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a}+\sqrt{2a}}$
[/mm]
Wegen [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$ [/mm] finden wir ein [mm] $N_0\in\IN$, [/mm] so dass für alle [mm] $n>N_0$ [/mm] gilt: [mm] $|a_n-a|<\varepsilon\cdot{}\frac{\sqrt{a}+\sqrt{2a}}{\sqrt{2}}$
[/mm]
Nun wieder [mm] $N:=max\{N_0,N_1\}$ [/mm] wählen, dann gilt für alle $n>N$:
[mm] $|\sqrt{a_n}-a_n|=|a_n-a|\cdot{}\frac{1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a}}<\varepsilon\cdot{}\frac{\sqrt{a}+\sqrt{2a}}{\sqrt{2}}\cdot{}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a}+\sqrt{2a}}=\varepsilon$
[/mm]
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") nochmal, ich hoffe, es passt nun.
LG
schachuzipus
|
|
|
|
