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| Aufgabe | | f(x)= [mm] (2x+8)e^-1/4x^2 [/mm] -x |
Ich habe ein kleines Problem. Heute schreibe ich eine Mathe-Klausur und habe einige Übungsaufgaben bekommen. Es geht um e-Funktionen. Gerade bin ich auf eine Aufgabe gestoßen mit 2 xen im exponenten und ich bin mir nicht sicher ob ich die Ableitung richtig gemacht habe.
Die Funktion lautet: f(x)= [mm] (2x+8)e^-1/4x^2 [/mm] -x
Produktregel: f(x)= u(x)*v(x); f´(x)= u´(x)* v(x)+u(x)*v´(x)
u=2x+8 ; u´= 2 ; [mm] v=e^-1/4x^2 [/mm] -x v´= [mm] (-0,5x-1)*e^-1/4x^2 [/mm] -x
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
f´(x)= [mm] 2*e^-1/4x^2 [/mm] -x + (2x+8)* [mm] (-0.5x-1)*e^-1/4x^2 [/mm] -x
f´(x)= [mm] 2*e^-1/4x^2 [/mm] -x + [mm] (x^2+4x)*e^-1/4x^2 [/mm] -x
f´(x)= [mm] (x^2 +4x+2)*e^-1/4x^2 [/mm] -x
Problematisch finde ich in diesem Fall v abzuleiten und dann die Klammern auszumultiplizieren.
Ich hoffe es kann mir jemand heflen
Danke schon mal im vorraus
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Hallo mourinhos,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> f´(x)= [mm]2*e^-1/4x^2[/mm] -x + (2x+8)* [mm](-0.5x-1)*e^-1/4x^2[/mm] -x
Bis hierher sieht es gut aus ...
> f´(x)= [mm]2*e^-1/4x^2[/mm] -x + [mm](x^2+4x)*e^-1/4x^2[/mm] -x
Aber hier hast Du die Klammern falsch ausmultipliziert ...
$$f'(x) \ = \ [mm] 2*e^{-\bruch{1}{4}x^2-x}+\left(-x^2-2x-4x-8\right)*e^{-\bruch{1}{4}x^2-x}$$
[/mm]
$$f'(x) \ = \ [mm] 2*e^{-\bruch{1}{4}x^2-x}+\left(-x^2-6x-8\right)*e^{-\bruch{1}{4}x^2-x}$$
[/mm]
$$f'(x) \ = \ [mm] \left(2-x^2-6x-8\right)*e^{-\bruch{1}{4}x^2-x} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion: [mm] f(x)=(2x+8)*e^-1/4x^2-x
[/mm]
a) Bestimmen Sie die ersten 3 Ableitungen von f
b) Untersuchen sie f auf Nullstellen
c) Berechnen Sie die Wende und Extrempunkte von f |
Ich versuche mal die Aufgaben zu lösen und ich würde es sehr nett finden , wenn jemand vllt diese dann durchschauen könnte auf mögliche Fehler
a)
f(x)= [mm] (2x+8)*e^-1/4x^2-x
[/mm]
Produktregel: f(x)= u(x)*v(x) ; f´(x)=u´(x)*v(x)+ u(x)* v´(x)
[mm] f'(x)=2*e^-1/4x^2-x [/mm] + [mm] (2x+8)*(-0,5x-1)*e^-1/4x^2-x
[/mm]
[mm] f'(x)=2*e^-1/4x^2 [/mm] -x + [mm] (-x^2 -4x-2x-8)*e^-1/4x^2 [/mm] -x
[mm] f'(x)=(-x^2 -6x-6)*e^-1/4x^2 [/mm] -x
[mm] f''(x)=(-2x-6)*e^-1/4x^2-x [/mm] + [mm] (-x^2 -6x-6)*(-0,5x-1)*e^-1/4x^2-x
[/mm]
[mm] f''(x)=(-2x-6)*e^-1/4x^2-x [/mm] + [mm] (0,5x^3 +4x^2 +9x+6)*e^-1/4x^2-x
[/mm]
[mm] f''(x)=(0,5x^3 +4x^2 [/mm] +7x)* [mm] e^-1/4x^2-x
[/mm]
[mm] f'''(x)=(1,5x^2 +8x+7)*e^-1/4x^2-x [/mm] + [mm] (0,5x^3 +4x^2 +7x)*(-0,5x-1)*e^-1/4x^2-x
[/mm]
[mm] f'''(x)=(1,5x^2 +8x+7)*e^-1/4x^2-x [/mm] + [mm] (-0,25x^4 -2,5x^3 -7,5x^2 -7x)*e^-1/4x^2-x
[/mm]
[mm] f'''(x)=(-0,25x^4 -2,5x^3 -6x^2 +x+7)*e^-1/4x^2-x
[/mm]
b) Nullstellen: f(x)=0
[mm] (2x+8)*e^-1/4x^2-x [/mm] = 0
2x+8=0 / -8
2x=-8 / :2
x=-4
c) Extrempunkte:
not.Bedingung: f'(x)=0
[mm] (-x^2 -6x-6)*e^-1/4x^2-x [/mm] = 0
[mm] -x^2 [/mm] -6x-6 = 0 / *(-1)
[mm] x^2 [/mm] +6x-6=0 / pq formel
x1,2= -3 [mm] \pm \wurzel{(6/2)^2 -6} [/mm] = -3 [mm] \pm [/mm] 1,73
x1= -1,27
x2= -4,73
hin. Bedingung: f'(x)=0 ; f''(x) [mm] \not= [/mm] 0
f''(-1,27)= [mm] (0,5*(-1.27)^3 +4*(-1,27)^2 +7*(-1,27))*e^-1/4*(-1,27)^2 [/mm] -(-1,27) = -3,46*e < 0 => Max. bei x1
f''(-4,73)= [mm] (0,5*(-4,73)^3 +4*(-4,73)^2 +7*(-4,73))*e^-1/4*(-4,73)^2 [/mm] -(-4,73) = 3,46*e > 0 => Min. bei x2
Max (-3,46/1,08) ; Min ( 3,46/14,92)
Wendepunkte:
not. Bedingung: f''(x)=0
[mm] (0,5x^3 +4x^2 +7x)*e^-1/4x^2-x [/mm] =0
[mm] 0,5x^3 +4x^2 [/mm] +7x=0 / *2
[mm] x^3 +8x^2 [/mm] +14x =0 / ausklammern
x* ( [mm] x^2 [/mm] +8x+14) =0
x1=0
[mm] x^2 [/mm] +8x+14 =0 /pq Formel
x2,3= -4 [mm] \pm \wurzel{(8/2)^2 -14} [/mm] = -4 [mm] \pm [/mm] 1,414
x2=-2,59
x3=-5,414
hin. Bedingung: f'(x)=0 ; f'''(x) [mm] \not= [/mm] 0
f'''(0) = [mm] 7*e^0 \not= [/mm] 0
f'''(-2,59)= [mm] (-0,25*(-2,59)^4 -2,5*(-2,59)^3 -6*(-2,59)^2 -(-2,59)+7)*e^-1/4*(-2,59)^2 [/mm] -(-2,59) = 1,53*e [mm] \not= [/mm] 0
f'''(-5,414)= [mm] (-0,25*(-5,414)^4 -2,5*(-5,414)^3 -6*(-5,414)^2 -(-5,414)+7)*e^-1/4*(-5,414)^2 [/mm] -(-5,414) = 18,49*e [mm] \not= [/mm] 0
WEP1 (0/8)
WEP2 (-2,59/2,82)
WEP3 (-5,414/-2,82)
Ufff das war ja ne menge Arbeit ;)
Hoffentlich macht sich jemand die Mühe und guckt mal nach Fehlern
Danke schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 Fr 12.12.2008 | | Autor: | Dath |
Definition des Wendepunktes:
[mm]f''=0 \wedge f'''\not=0[/mm]
Viele Grüße,
Dath
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