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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 Sa 06.05.2006 | | Autor: | arual |
| Aufgabe | f(x)=e^(x-1) g(x)=e^(1-x) (Kf und Kg sind die jeweiligen Schaubilder)
b) Die Kurven Kf und Kg schließen mit der y-Achse eine Fläche ein. Rotiert diese Fläche um die x-Achse, so entsteht ein Drehkörper. Berechnen Sie das Volumen dieses Drehkörpers.
c) P(u;v) mit u>0 sei ein Punkt auf der Kurve Kg. Die Parallele zur x-Achse durch P schneidet die y-Achse in Q. Die Tangente in P an Kg schneidet die y-Achse in R.
Für welchen Wert von u wird der Flächeninhalt des Dreiecks QPR extremal? Bestimmen Sie die Art des Extremums und seinen Wert. |
Hallo liebe Leute!
Ich hab versucht diese Aufgaben zu berechnen.
Bei b) habe ich für das Volumen 5,11 VE raus. Könnte das mal jemand prüfen?
So nun bei c) habe ich mir erstmal eine Skizze gemacht und herausgefunden, dass das Dreieck rechtwinklig sein muss. Also wird der Flächeninhalt ja mit A=0,5ab berechnet. Das müsste also heißen: A=0,5*u*QR, oder?
Nun weiß ich aber nicht, wie ich eine von den Größen ersetzen kann, sprich ich komme nicht weiter.
Würde mich freuen, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.
Schon mal vielen Dank im Voraus.
LG arual
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Hallo arual,
der erste Aufgabenteil ist korrekt.
Tipp zum zweiten Teil:
es handelt sich hier um eine Extremalaufgabe, d.h. du musst unter den gegebenen Bedingungen eine Zielfunktion finden, die du anschließend auf Extrema untersuchst. Irgendwo für u>0 sollte sie ein Maximum haben...
> So nun bei c) habe ich mir erstmal eine Skizze gemacht
Das ist sehr gut!
> und
> herausgefunden, dass das Dreieck rechtwinklig sein muss.
Ja!
> Also wird der Flächeninhalt ja mit A=0,5ab berechnet. Das
> müsste also heißen: A=0,5*u*QR, oder?
Ja - und das ist schon fast deine Zielfunktion (Naja, ein bisschen Arbeit ist es noch - wir wollen sie ja nur mit einer Variable u haben...)
> Nun weiß ich aber nicht, wie ich eine von den Größen
> ersetzen kann, sprich ich komme nicht weiter.
Einiges hast du doch schon: Die Strecke QP hat die Länge u - das hast du schon selbst angegeben. Jetzt fehlt dir noch die Länge von QR. Die ist abhängig von u. Denn wenn sich u verändert, ändert sich die Lage von P und damit auch der Verlauf der Tangente an Kg in P.
R ist lediglich der y-achsenabschnitt der Tangente, d.h. du musst eine allgemeine Form der Tangentengleichung in Abhängigkeit von u aufstellen. (Schau mal in dein Mathebuch oder in deine Formelsammlung doer frag noch mal nach...)
y-achsenabschnitt minus g(u) ist dann die gesucht Längevon QR.
Dann hast du alles, was du für die Zielfunktion brauchst.
Alle Klarheiten beseitigt???
Viele Grüße,
zerbinetta
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Sa 06.05.2006 | | Autor: | arual |
Vielen Dank für die Antwort!
Hmm... Also bis zu dem Punkt mit der allgemeinen Gleichung für die Tangente hab ich das alles verstanden und war ja im Prinzip auch schon soweit.
Die allgemeine Gleichung ist doch y=mx+n, oder ist eine andere gemeint?
Also ich hätte jetzt: y= [mm] \bruch{QR}{u}+R
[/mm]
Ich hoffe ich liege jetzt nicht ganz falsch!?
Aber wie jetzt weiter? Das habe ich nicht verstanden, wäre sehr dankbar für eine Erklärung.
Danke im Voraus.
LG arual
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> Vielen Dank für die Antwort!
Bitte...
> Hmm... Also bis zu dem Punkt mit der allgemeinen Gleichung
> für die Tangente hab ich das alles verstanden und war ja im
> Prinzip auch schon soweit.
>
> Die allgemeine Gleichung ist doch y=mx+n, oder ist eine
> andere gemeint?
Naja, das ist zunächst mal eine allgemeine Form für eine beliebige Gerade. Für eine Tangente an Kg im Punkt P(u/g(u)) gilt ja noch zusätzlich, dass m=g'(u). Wenn du dann die Tangentengleichung (allgemein für ein beliebiges u) herausfinden möchtest, fehlt dir noch b.
Aber du weißt ja einen Punkt der Tangente, nämlich P(u/g(u)).
Daher ist [mm] g(u)=g'(u)*u + b[/mm]
Und das kannst du nach b auflösen. Dann hast du auch deinen y-Achsenabschnitt.
Mit allgemeiner Form der Tangente meinte ich [mm] t_u_(x)=f'(u)(x-u)+f(u) [/mm].
Aber die haben wir jetzt sozusagen zu Fuß hergeleitet...
Viele Grüße,
zerbinetta
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Sa 06.05.2006 | | Autor: | arual |
Ich hab doch noch einige Probleme, deshalb mal schrittweise so wie ich das verstanden habe. Die Gleichung war ja g(x)=e^(1-x), also ist
g'(x)=-e^(1-x)
> Aber du weißt ja einen Punkt der Tangente, nämlich
> P(u/g(u)).
Der müsste dann P(u/e^(1-u)) sein, oder?
> Daher ist [mm]g(u)=g'(u)*u + b[/mm]
> Und das kannst du nach b
> auflösen.
[mm] e^{(1-u)}=-e^{(1-u)}*u+b
[/mm]
[mm] b=e^{(1-u)}*(1+u)
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Mal angenommen das ist richtig (was ich irgendwie nicht glaube), was muss ich jetzt machen? Ich werde aus dem Begriff y-Achsenabschnitt der Tangente usw. noch nicht ganz schlau.
Schon mal vielen Dank.
LG arual
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Hallo arual,
> Ich hab doch noch einige Probleme, deshalb mal schrittweise
> so wie ich das verstanden habe. Die Gleichung war ja
> g(x)=e^(1-x), also ist
> g'(x)=-e^(1-x)
>
> > Aber du weißt ja einen Punkt der Tangente, nämlich
> > P(u/g(u)).
>
> Der müsste dann P(u/e^(1-u)) sein, oder?
>
> > Daher ist [mm]g(u)=g'(u)*u + b [/mm]
> > Und das kannst du nach b
> > auflösen.
>
> [mm]e^{(1-u)}=-e^{(1-u)}*u+b[/mm]
> [mm]b=e^{(1-u)}*(1+u)[/mm]
> Ist das soweit richtig?
<
sieht doch gut aus...
> Mal angenommen das ist richtig (was ich irgendwie nicht
> glaube),
warum nicht?
> was muss ich jetzt machen? Ich werde aus dem
> Begriff y-Achsenabschnitt der Tangente usw. noch nicht
> ganz schlau.
y-achsenabschnitt ist der Schnittpunkt der Geraden (in diesem Fall der Tangente) mit der y-Achse. Der variiert natürlich, je nachdem wie du P veränderst. Die Länge von QR ist also jetzt b-g(u), also [mm]e^{(1-u)}*(1+u)-e^{1-u}[/mm]
Netterweise vereinfacht sich das schön angenehm...
So, dann hast du deine Zielfunktion - in Ordnung?
Viele Grüße,
zerbinetta
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Sa 06.05.2006 | | Autor: | arual |
So, ich denke jetzt hab ich es verstanden. Die Zielfunktion für den Flächeninhalt ist dann: [mm] A=0,5*u²*e^{1-u}. [/mm] Richtig?
Na gut, nochmal vielen Dank für die nette und schnelle Hilfe.
Noch ein angenehmes Wochenende.
LG arual
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Ja - super!
Viele Grüße,
z.
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