e-Folge hat Grenzwert < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hi!
es gilt ja [mm] e=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n
[/mm]
ich frage mich gerade, wie man beweisen kann, dass die obige Folge überhaupt einen Grenzwert hat.
Ich hatte mir gedacht vielleicht so:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n<99
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})<\limes_{n\rightarrow\infty}99^{\bruch{1}{n}}
[/mm]
damit wäre es gezeigt. ich weiß aber nicht, ob irgendwelche rechenregeln den letzten Implikationspfeil rechtfertigen...
Vielen Dank schon mal für Tipps.
|
|
| |
|
> Hi!
>
> es gilt ja
> [mm]e=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n[/mm]
>
> ich frage mich gerade, wie man beweisen kann, dass die
> obige Folge überhaupt einen Grenzwert hat.
>
> Ich hatte mir gedacht vielleicht so:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n<99[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})<\limes_{n\rightarrow\infty}99^{\bruch{1}{n}}[/mm]
>
> damit wäre es gezeigt. ich weiß aber nicht, ob
> irgendwelche rechenregeln den letzten Implikationspfeil
> rechtfertigen...
>
> Vielen Dank schon mal für Tipps.
Hallo Hermann,
dieser Konvergenzbeweis wird üblicherweise folgender-
massen geführt:
Man beweist
erstens: die Folge [mm] (a_n) [/mm] mit [mm] a_n=(1+\bruch{1}{n})^n [/mm] ist monoton steigend
zweitens: die Folge [mm] (b_n) [/mm] mit [mm] b_n=(1+\bruch{1}{n})^{n+1} [/mm] ist monoton fallend
drittens: die Folge [mm] (c_n) [/mm] mit [mm] c_n=b_n-a_n [/mm] ist eine Nullfolge
Aus dem allen zusammen kann man schliessen, dass
die Folgen [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] einen gemeinsamen Grenz-
wert haben müssen.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
und woher weiß ich, dass [mm] c_{n}=(1+\bruch{1}{n})^n*\bruch{1}{n} [/mm] eine Nullfolge ist?
|
|
|
| |
|
Hallo Hermann,
> und woher weiß ich, dass
> [mm]c_{n}=(1+\bruch{1}{n})^n*\bruch{1}{n}[/mm] eine Nullfolge ist?
Zeige, dass [mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ [/mm] eine beschränkte Folge ist.
Etwa per Iduktion, zeige, dass [mm] $\forall n\in\IN:\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<3$ [/mm] ist
Oder mit dem binomischen Lehrsatz und einer geometrischen Reihe
[mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] ist offensichtlich eine Nullfolge.
Und es gilt: beschränkte Folge [mm] \cdot{} [/mm] Nullfolge = Nullfolge
LG
schachuzipus
>
|
|
|
|
