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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - duale Basis
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duale Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:29 Mi 16.02.2011
Autor: Mandy_90

Aufgabe
Durch [mm] (v_{1},v_{2}) [/mm] seien im folgenden stets die Elemente des Vektorraums [mm] (\IR^{2}/\IR) [/mm] bezeichnet.

a) [mm] (\phi_{1},\phi_{2})* [/mm] sei die Dualbasis der kanonischen Basis von [mm] \IR^{2}. [/mm] Berechne [mm] \phi_{j}(x), [/mm] j=1,2 für [mm] x=(v_{1},v_{2}). [/mm]

b) Zeige: [mm] B_{2}=((1,1),(1,-2)) [/mm] ist eine Basis von [mm] \IR^{2}. (n_{1},n_{2})* [/mm] sei die Dualbasis von [mm] B_{2}.Berechnen [/mm] sie  [mm] n_{j}(x), [/mm] j=1,2 für [mm] x=(v_{1},v_{2}) [/mm]


Hallo zusammen,

ich hab mal diese Aufgabe gelöst,aber es scheint mir nicht richtig zu sein.

a) Ich weiß nicht genau was mit [mm] (v_{1},v_{2}) [/mm] gmeint ist, ich habs so interpretiert, dass das ganz allgemeint irgendwelche Vektoren aus dem [mm] \IR^{2} [/mm] sind. Aber dann wäre wäre die Aufgabe zu einfach. Es wäre dann nämlich [mm] \phi_{1}(v_{1})=1,\phi_{1}(v_{2})=0,\phi_{2}(v_{1})=0,\phi_{2}(v_{2})=2. [/mm] Wars das schon oder wollen die da etwas anderes in der Aufgabe sehen?

b) Da [mm] B_{2} [/mm] linear unabhängig ist und maximale linear unabhängige Teilmenge ist, ist [mm] B_{2} [/mm] eine Basis des [mm] \IR^{2}. [/mm] Jetzt hab ich doch das gleiche wie oben [mm] \phi_{1}(v_{1})=1,\phi_{1}(v_{2})=0,\phi_{2}(v_{1})=0,\phi_{2}(v_{2})=2. [/mm]

Ich glaube ich verstehe da etwas falsch bei der Berechnung der dualen Basis. Es wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Vielen Dank
lg

        
Bezug
duale Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:59 Mi 16.02.2011
Autor: statler


> Durch [mm](v_{1},v_{2})[/mm] seien im folgenden stets die Elemente
> des Vektorraums [mm](\IR^{2}/\IR)[/mm] bezeichnet.
>  
> a) [mm](\phi_{1},\phi_{2})*[/mm] sei die Dualbasis der kanonischen
> Basis von [mm]\IR^{2}.[/mm] Berechne [mm]\phi_{j}(x),[/mm] j=1,2 für
> [mm]x=(v_{1},v_{2}).[/mm]
>  
> b) Zeige: [mm]B_{2}=((1,1),(1,-2))[/mm] ist eine Basis von [mm]\IR^{2}. (n_{1},n_{2})*[/mm]
> sei die Dualbasis von [mm]B_{2}.Berechnen[/mm] sie  [mm]n_{j}(x),[/mm] j=1,2
> für [mm]x=(v_{1},v_{2})[/mm]

Guten Tach!

> ich hab mal diese Aufgabe gelöst,aber es scheint mir nicht
> richtig zu sein.
>
> a) Ich weiß nicht genau was mit [mm](v_{1},v_{2})[/mm] gmeint ist,
> ich habs so interpretiert, dass das ganz allgemeint
> irgendwelche Vektoren aus dem [mm]\IR^{2}[/mm] sind. Aber dann wäre
> wäre die Aufgabe zu einfach. Es wäre dann nämlich
> [mm]\phi_{1}(v_{1})=1,\phi_{1}(v_{2})=0,\phi_{2}(v_{1})=0,\phi_{2}(v_{2})=2.[/mm]
> Wars das schon oder wollen die da etwas anderes in der
> Aufgabe sehen?

Das war's nicht, und die wollen was anderes sehen. [mm] \phi_{1}(v_{1}) [/mm] ist gar nicht definiert, weil [mm] \phi_{1} [/mm] nur auf einen Vektor angewendet werden kann und [mm] v_{1} [/mm] einfach nur eine Zahl ist, nämlich die erste Koordinate eines Vektors. Gesucht ist [mm] \phi_{1}((v_{1}, v_{2})), [/mm] und das kannst du ausrechnen, also durch [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] ausdrücken.

> b) Da [mm]B_{2}[/mm] linear unabhängig ist und maximale linear
> unabhängige Teilmenge ist, ist [mm]B_{2}[/mm] eine Basis des
> [mm]\IR^{2}.[/mm] Jetzt hab ich doch das gleiche wie oben
> [mm]\phi_{1}(v_{1})=1,\phi_{1}(v_{2})=0,\phi_{2}(v_{1})=0,\phi_{2}(v_{2})=2.[/mm]

In b) kannst du so vorgehen, daß du erstmal den Vektor $x$ durch die neue Basis [mm] B_2 [/mm] darstellst.

Gruß aus HH-Harburg
Dieter


Bezug
                
Bezug
duale Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:40 Do 17.02.2011
Autor: Mandy_90


> > a) Ich weiß nicht genau was mit [mm](v_{1},v_{2})[/mm] gmeint ist,
> > ich habs so interpretiert, dass das ganz allgemeint
> > irgendwelche Vektoren aus dem [mm]\IR^{2}[/mm] sind. Aber dann wäre
> > wäre die Aufgabe zu einfach. Es wäre dann nämlich
> >
> [mm]\phi_{1}(v_{1})=1,\phi_{1}(v_{2})=0,\phi_{2}(v_{1})=0,\phi_{2}(v_{2})=2.[/mm]
> > Wars das schon oder wollen die da etwas anderes in der
> > Aufgabe sehen?
>  
> Das war's nicht, und die wollen was anderes sehen.
> [mm]\phi_{1}(v_{1})[/mm] ist gar nicht definiert, weil [mm]\phi_{1}[/mm] nur
> auf einen Vektor angewendet werden kann und [mm]v_{1}[/mm] einfach
> nur eine Zahl ist, nämlich die erste Koordinate eines
> Vektors. Gesucht ist [mm]\phi_{1}((v_{1}, v_{2})),[/mm] und das
> kannst du ausrechnen, also durch [mm]v_{1}[/mm] und [mm]v_{2}[/mm]
> ausdrücken.

Ich versteh grad nicht wie ich das berechnen kann.Die duale Basis ist doch so defniert: [mm] f_{j}: v_{k} \mapsto \delta_{jk}. [/mm] Es kommt auf die Indizes an, aber ich weiß doch gar nicht welchen Indizes [mm] (v_{1},v_{2}) [/mm] hat. Wie soll ich das dann berechnen?
(Steh grad ein bisschen auf dem Schlauch).

lg

Bezug
                        
Bezug
duale Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:00 Do 17.02.2011
Autor: fred97

Du brauchst doch nur die passenden Definitionen !



Die kanonische Basis des [mm] \IR^2 [/mm] ist doch:  [mm] $\{b_1,b_2 \}$, [/mm] wobei

                  [mm] b_1=(1,0) [/mm]  und  [mm] b_2=(0,1). [/mm]

Nach Def. gilt dann:

              [mm] \phi_1(b_1)=1, \phi_1(b_2)=0 [/mm]

              [mm] \phi_2(b_1)=0, \phi_2(b_2)=1. [/mm]

Für $x= [mm] (v_1,v_2) \in \IR^2$ [/mm]  ist bekanntlich

                  $x= [mm] v_1*b_1+v_2*b_2$ [/mm]

Jetzt  kannst Du   locker vom Hocker berechnen:

                [mm] \phi_1(x) [/mm]    und  [mm] \phi_2(x) [/mm]

FRED

Bezug
                                
Bezug
duale Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:51 Do 17.02.2011
Autor: Mandy_90


> Du brauchst doch nur die passenden Definitionen !
>  
>
>
> Die kanonische Basis des [mm]\IR^2[/mm] ist doch:  [mm]\{b_1,b_2 \}[/mm],
> wobei
>  
> [mm]b_1=(1,0)[/mm]  und  [mm]b_2=(0,1).[/mm]
>  
> Nach Def. gilt dann:
>  
> [mm]\phi_1(b_1)=1, \phi_1(b_2)=0[/mm]
>  
> [mm]\phi_2(b_1)=0, \phi_2(b_2)=1.[/mm]
>  
> Für [mm]x= (v_1,v_2) \in \IR^2[/mm]  ist bekanntlich
>  
> [mm]x= v_1*b_1+v_2*b_2[/mm]
>  
> Jetzt  kannst Du   locker vom Hocker berechnen:
>  
> [mm]\phi_1(x)[/mm]    und  [mm]\phi_2(x)[/mm]

Dann müsste [mm] \phi_{1}(x)=v_{1} [/mm] und [mm] \phi_{2}(x)=v_{2} [/mm] sein oder?

lg


Bezug
                                        
Bezug
duale Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:54 Do 17.02.2011
Autor: fred97


> > Du brauchst doch nur die passenden Definitionen !
>  >  
> >
> >
> > Die kanonische Basis des [mm]\IR^2[/mm] ist doch:  [mm]\{b_1,b_2 \}[/mm],
> > wobei
>  >  
> > [mm]b_1=(1,0)[/mm]  und  [mm]b_2=(0,1).[/mm]
>  >  
> > Nach Def. gilt dann:
>  >  
> > [mm]\phi_1(b_1)=1, \phi_1(b_2)=0[/mm]
>  >  
> > [mm]\phi_2(b_1)=0, \phi_2(b_2)=1.[/mm]
>  >  
> > Für [mm]x= (v_1,v_2) \in \IR^2[/mm]  ist bekanntlich
>  >  
> > [mm]x= v_1*b_1+v_2*b_2[/mm]
>  >  
> > Jetzt  kannst Du   locker vom Hocker berechnen:
>  >  
> > [mm]\phi_1(x)[/mm]    und  [mm]\phi_2(x)[/mm]
>  
> Dann müsste [mm]\phi_{1}(x)=v_{1}[/mm] und [mm]\phi_{2}(x)=v_{2}[/mm] sein
> oder?

Ja

FRED

>  
> lg
>  


Bezug
                                                
Bezug
duale Basis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:10 Do 17.02.2011
Autor: Mandy_90

Ok, vielen vielen Dank =), ich denke ich habs jetzt verstanden.

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