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| Aufgabe | Seien [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] diskrete, unabhängige Zufallsvariablen mit erzeugenden Funktionen [mm] G_{X_1} [/mm] und [mm] G_{X_2}. [/mm] Sei Y eine Zufallsvariable definiert als [mm] Y=X_1+X_2
[/mm]
Beweisen Sie, dass [mm] G_{Y}(t)=G_{X_1}(t)*G_{X_2}(t) [/mm] |
Hallo,
also ich habe den Beweis fast fertig, nur bei mir haperts am allerletzten Schritt. Ich bin so vorgegangen:
[mm] f_{Y}(y)=P(Y=y)=\summe_{x_1}P\left[(Y=y)\cup (X_1=x_1)\right]
[/mm]
[mm] =\summe_{x_1}P\left[(X_2=y-x_1)\cup (X_1=x_1)\right]
[/mm]
[mm] =\summe_{x_1}P(X_2=y-x_1)*P(X_1=x_1)
[/mm]
[mm] =\summe_{x_1}f_{X_1}(x_1)*f_{X_2}(y-x_1)
[/mm]
[mm] f_{X} [/mm] bezeichnet hier die Wahrscheinlichkeitsfunktion
Die Summen beziehen sich auf die jeweilige Definitionsmenge der Funktionen. Ich weiß nicht, wie ich das doppel-gestrichene X hier mache
So nun nach der Definition der erzeugenden Funktion habe ich
[mm] G_{Y}(t)=\summe_{y}f_{Y}(y)*t^{y}
[/mm]
[mm] =\summe_{y}\left\{\summe_{x_1}f_{X_1}(x_1)*f_{X_2}(y-x_1)\right\}*t^{y}
[/mm]
Wie kann ich da jetzt weiter umformen, so dass ich zwei Summen jeweils mit [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] bekomme ? Ich denke ich muss nutzen, dass [mm] Y=X_1+X_2 [/mm] aber damit kriege ich die summe über y nicht umgeformt, oder ?
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:49 Mo 19.04.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin,
[mm] $t^y=t^{x_1+y-x_1}$ [/mm] ...
vg Luis
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