disjunkte Ereignisse < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:10 Mi 20.07.2011 | | Autor: | path |
| Aufgabe | Seien [mm] X_1,X_2,\ldots,X_n [/mm] unabhängige Zufallsvariablen mit gemeinsamer Verteilungsfunktion [mm] F_X. [/mm] Dann heißen
[mm] X_{(1)}\leq X_{(2)}\leq \ldots \leq X_{(n)} [/mm] die zugehörigen Ordnungsstatistiken (d.h. die geordneten [mm] $X_i$).
[/mm]
[mm] X_{(m)}\leq X_{(m+1)} [/mm] -> [mm] P[X_{(m)}>t]\cdot P[X_{(m+1)}\leq [/mm] t] = ? |
Hallo!
Ich steh grad irgendwie voll auf dem Schlauch.
Ist
[mm] X_{(m)}\leq X_{(m+1)} ->\{X_{(m)}>t\}\cap\{X_{(m+1)}\leq t\}=\emptyset [/mm] -> [mm] P[X_{(m)}>t]\cdot P[X_{(m+1)}\leq [/mm] t] = [mm] P[\{X_{(m)}>t\}\cap\{X_{(m+1)}\leq t\}]=P[\emptyset]=0 [/mm] richtig?
D.h. kann ich hier die zwei Wahrscheinlichkeiten zu einer zusammenfassen?
Vielen Dank schonmal,
path
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Mi 20.07.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
wo ist das Problem? Du weisst doch bestimmt, wie man die Verteilungsfunktion [mm] $F_{(i)}$ [/mm] von [mm] $X_{(i)}$ [/mm] berechnet. Dann ist
$ [mm] P[X_{(m)}>t]\cdot P[X_{(m+1)}\leq [/mm] t]= [mm] (1-P[X_{(m)}\le t])\cdot P[X_{(m+1)}\leq t]=(1-F_{(m)}(t))F_{(m+1)}(t)$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mi 20.07.2011 | | Autor: | path |
Danke!
Also mein eigentliches Problem ist, dass ich mit der Annahme, dass da 0 rauskommt, eine ziemlich lange Umformung in einer Arbeit begründe.
Also sollte das nicht der Fall sein, hab ich anscheinend was falsch gemacht.
Meine Überlegung war, dass die beiden Ereignisse eben nicht gleichzeitig auftreten können.
Eigentlich möchte ich zeigen, dass
[mm] \sum_{i=m+1}^n P[X_{(i)}\leq t]\cdotp P[X_{(m)}>t]=0 [/mm] ist.
path
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Mi 20.07.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
betrachte den Fall $n=2_$ mit unabhaengigen standardnormalverteilten [mm] $X_1,X_2$. [/mm] Dann ist
[mm] $(1-F_{(m)}(t))F_{(m+1)}(t)=(1-F_{(1)}(t))F_{(2)}(t)=(1-\Phi(t))^2\Phi^2(t)=\psi(t) [/mm] $. Es ist [mm] $\psi(0)=0.0625>0$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Mi 20.07.2011 | | Autor: | path |
Oh Mann, das ist jetzt natürlich nicht so gut (für meine Umformung).
Es gilt dann wahrscheinlich auch nicht
[mm] \sum_{i=m+1}^n P[X_{(m)} \leq [/mm] t < [mm] X_{(i)}]=\sum_{i=m+1}^nP[\{X_{(m)}\leq t\}\cap \{t [/mm] t],
oder?
Vielen Dank,
path
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Mi 20.07.2011 | | Autor: | luis52 |
>
> Es gilt dann wahrscheinlich auch nicht
>
> [mm]\sum_{i=m+1}^n P[X_{(m)} \leq[/mm] t <
> [mm]X_{(i)}]=\sum_{i=m+1}^nP[\{X_{(m)}\leq t\}\cap \{t
t][/mm] ,
>
> oder?
Die erste Gleichung ist okay, die zweite nicht. [mm] $X_{(i)}$ [/mm] und [mm] $X_{(j)}$ [/mm] sind ja korreliert, die zweite Gleichung gilt nur bei Unabhaengigkeit.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:08 Mi 20.07.2011 | | Autor: | path |
Ok,
also danke nochmal! Hast mir sehr weitergeholfen!
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