direkte summe zyklisch < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien V und W [mm] \IK-Vektorräume [/mm] und [mm] \phi_{V}:V\to [/mm] V sowie [mm] \phi_{W}:W\to [/mm] W [mm] \IK-linear [/mm] derart, dass V [mm] \phi_{V}-zyklisch [/mm] und W [mm] \phi_{W}-zyklisch. [/mm] Sei [mm] \phi_{V}\oplus\phi_{W}(v,w):=(\phi_{V}(v),\phi_{W}(w))
[/mm]
Zeigen Sie, dass die äußere direkte Summe [mm] V\oplus [/mm] W [mm] \phi_{V}\oplus\phi_{W}-zyklisch [/mm] ist, wenn die Minimalpolynome von [mm] \phi_{V} [/mm] und [mm] \phi_{W} [/mm] teilerfremd sind. |
Ich weiß zwar, dass [mm] \chi=\mu \Rightarrow [/mm] VR ist zyklisch, aber gerade das darf ich nicht verwenden...
Wie könnte man das sonst beweisen???
Man kann die Begleitmatrix zu [mm] \phi_{V}\oplus\phi_{W} [/mm] zwar angeben, aber dann muss man ja noch zeigen, dass sie überhaupt Darstellungsmatrix dazu ist...
Kann man irgendwie die Konjugationsmatrix angeben von [mm] \pmat{ A & 0 \\ 0 & B } [/mm] aus, wobei A Begleitmatrix zu [mm] \phi_{V} [/mm] und B Begleitmatrix zu [mm] \phi_{W}? [/mm]
Oder kann man irgendwie ausgehend von den erzeugenden Vektoren [mm] v_{0}\in [/mm] V und [mm] w_{0}\in [/mm] W einen Erzeuger von [mm] V\oplus [/mm] W finden?
Ich wüsste allerdings nicht wie, denn z.B. einfach [mm] (v_{0},w_{0}) [/mm] kann es doch nicht sein, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Di 25.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich weiß zwar, dass [mm]\chi=\mu \Rightarrow[/mm] VR ist zyklisch,
> aber gerade das darf ich nicht verwenden...
Wieso nicht? Nicht, dass es umbedingt hilft, aber wer verbietet dir das?
> Wie könnte man das sonst beweisen???
Das Minimalpolynom der eingeschraenkten Abbildung auf einen Unterraum teilt das Minimalpolynom der eigentlichen Abbildung. Daraus erhaelst du das Min.pol. von der Abbildung in unserem Fall.
> Man kann die Begleitmatrix zu [mm]\phi_{V}\oplus\phi_{W}[/mm] zwar
> angeben, aber dann muss man ja noch zeigen, dass sie
> überhaupt Darstellungsmatrix dazu ist...
Sie ist in der richtigen Form - aber was bringt dir die Darstellungsmatrix?
> Oder kann man irgendwie ausgehend von den erzeugenden
> Vektoren [mm]v_{0}\in[/mm] V und [mm]w_{0}\in[/mm] W einen Erzeuger von
> [mm]V\oplus[/mm] W finden?
Das ginge auch.
> Ich wüsste allerdings nicht wie, denn z.B. einfach
> [mm](v_{0},w_{0})[/mm] kann es doch nicht sein, oder?
Doch, wieso nicht?
SEcki
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> > Ich wüsste allerdings nicht wie, denn z.B. einfach
> > [mm](v_{0},w_{0})[/mm] kann es doch nicht sein, oder?
>
> Doch, wieso nicht?
>
Also ist das doch ein Erzeuger? Aber wie beweis ich das denn? Ich hab mir gedacht, dass es vielleicht einfacher ist einzeln zu zeigen, dass (v,0) und (0,w) im [mm] \phi_{V}\oplus\phi_{W}-Aufspann [/mm] von [mm] (v_{0},w_{0}) [/mm] ist.
Aber irgendwie finde ich keinen Ansatz, wie man das zeigen könnte. Da sollte doch die Teilerfremdheit der Minimalpolynome eingehen? Aber inwiefern???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Do 27.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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