dim(V) < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Di 01.01.2013 | | Autor: | Sqrt3 |
| Aufgabe | Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum und f : V [mm] \to [/mm] v eine lineare Abb. mit f [mm] \circ [/mm] f = 0
a) Zeigen Sie, dass dann rang(f) [mm] \le \bruch{1}{2} [/mm] dim(V) gilt.
b) Gibt es zu jeder ganzen Zahl 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le \bruch{1}{2} [/mm] dim(V) eine lineare Abb. f : V [mm] \to [/mm] V mit f [mm] \circ [/mm] f = 0 und rang(f)=0? |
So wünsche euch ein frohes neues Jahr und viel Glück für das kommende Jahr, aber leider bräuchte ich wieder eure Hilfe.
Hier stellt sich mir schon die Frage, wie das mit f [mm] \circ [/mm] f=0 aussieht, weil das ja bedeutet, das die Verknüpfung von f mit f =0 ist und das doch nur dann ist, f(x)=0 mit [mm] x\in [/mm] V oder? Dies würde doch bedeuten, dass Ker(f)=0. Mit der Dimensionsformel würde ich dan für a) haben:
dim(V) = rg(f) + Ker(f) da rg(f) aber gleich Ker(f) ist [mm] \Rightarrow [/mm] dim(V) = 2 rg(f) [mm] \Rightarrow \bruch{1}{2} [/mm] dim(V) = rg(f) oder? Zu b habe ich leider noch keine Idee.
Würde mich freuen, wenn mir jemand antwortet :D.
|
|
| |
|
> Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum und f : V [mm]\to[/mm] v
> eine lineare Abb. mit f [mm]\circ[/mm] f = 0
> a) Zeigen Sie, dass dann rang(f) [mm]\le \bruch{1}{2}[/mm] dim(V)
> gilt.
> b) Gibt es zu jeder ganzen Zahl 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\le \bruch{1}{2}[/mm]
> dim(V) eine lineare Abb. f : V [mm]\to[/mm] V mit f [mm]\circ[/mm] f = 0 und
> rang(f)=0?
>
>
>
> So wünsche euch ein frohes neues Jahr und viel Glück für
> das kommende Jahr, aber leider bräuchte ich wieder eure
> Hilfe.
>
> Hier stellt sich mir schon die Frage, wie das mit f [mm]\circ[/mm] f=0 aussieht,
> weil das ja bedeutet, das die Verknüpfung
> von f mit f =0 ist und das doch nur dann ist, f(x)=0 mit
> [mm]x\in[/mm] V oder? Dies würde doch bedeuten, dass Ker(f)=0.
Hall0
nein, beides ist nicht der Fall.
1.
Betrachte doch mal die Funktion [mm] f:\IR^2\to \IR^2 [/mm] mit
[mm] f(\vektor{x_1\\x_2})=\vektor{x_2\\0}.
[/mm]
Diese Funktion ist offensichtlich nicht die Nullabbildung.
Nun verkette sie mal mit sich selbst...
2.
Wenn Du definierst f(x)=0 für alle [mm] x\in [/mm] V, dann ist der Kernf=V und nicht etwa der Nullraum.
Guck Dir an, wie der Kern einer Abbildung definiert ist!
LG Angela
> Mit
> der Dimensionsformel würde ich dan für a) haben:
> dim(V) = rg(f) + Ker(f) da rg(f) aber gleich Ker(f) ist
> [mm]\Rightarrow[/mm] dim(V) = 2 rg(f) [mm]\Rightarrow \bruch{1}{2}[/mm]
> dim(V) = rg(f) oder? Zu b habe ich leider noch keine Idee.
>
> Würde mich freuen, wenn mir jemand antwortet :D.
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Di 01.01.2013 | | Autor: | Sqrt3 |
Ok, aber wie sieht denn dafür der Lösungsansatz aus, wenn die Definition des Kerns ja Ker(f) = {v [mm] \in [/mm] V | f(v)=0}
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Di 01.01.2013 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Ok, aber wie sieht denn dafür der Lösungsansatz aus, wenn
> die Definition des Kerns ja Ker(f) = {v [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V | f(v)=0}
Zeige: aus f $ \circ $ f = 0 folgt: im(f) \subseteq kern(f).
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Di 01.01.2013 | | Autor: | Sqrt3 |
Aber dann gilt doch, dass dim(Ker(f)) [mm] \ge [/mm] rg(f) ist. Wie zeige ich denn dann. dass Im(f) [mm] \subset [/mm] Ker(f) ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:40 Mi 02.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Aber dann gilt doch, dass dim(Ker(f)) [mm]\ge[/mm] rg(f) ist. Wie
> zeige ich denn dann. dass Im(f) [mm]\subset[/mm] Ker(f) ist?
Sei y [mm] \in [/mm] Im(f). Dann ex. ein x [mm] \in [/mm] V mit f(x)=y.
Warum ist nun f(y)=0 ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:58 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Sqrt3 |
Eigentlich ist f(y) =0, da y=f(x) ist => f(y)=f(f(x))=0, da f°f=0 oder?
|
|
|
| |
|
> Eigentlich ist f(y) =0, da y=f(x) ist => f(y)=f(f(x))=0, da
> f°f=0 oder?
>
Hallo,
ja, genau.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:20 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Aguero |
> > Aber dann gilt doch, dass dim(Ker(f)) [mm]\ge[/mm] rg(f) ist. Wie
> > zeige ich denn dann. dass Im(f) [mm]\subset[/mm] Ker(f) ist?
>
> Sei y [mm]\in[/mm] Im(f). Dann ex. ein x [mm]\in[/mm] V mit f(x)=y.
>
> Warum ist nun f(y)=0 ?
>
> FRED
>
gibt es dann kein x wenn f(y)= 0 gilt??
wie wäre dann die formale Schreibweise zur lösung?
der Weg von sqrt ist schon richtig oder?
und wie geht man die b) an?
|
|
|
| |
|
> > > Aber dann gilt doch, dass dim(Ker(f)) [mm]\ge[/mm] rg(f) ist. Wie
> > > zeige ich denn dann. dass Im(f) [mm]\subset[/mm] Ker(f) ist?
> >
> > Sei y [mm]\in[/mm] Im(f). Dann ex. ein x [mm]\in[/mm] V mit f(x)=y.
> >
> > Warum ist nun f(y)=0 ?
> >
> > FRED
> >
>
>
> gibt es dann kein x wenn f(y)= 0 gilt??
>
> wie wäre dann die formale Schreibweise zur lösung?
Hallo,
???
So wie bei Fred.
Und dann schreibst Du: " ==> f(y)=0, denn...".
> der Weg von sqrt ist schon richtig oder?
Ich hab' jetzt grad nicht so viel Lust, mir den Weg im Thread zusammenzusuchen.
Vielleicht stellst Du ihn mal übersichtlich dar, inkl. aller Begründungen.
Dann sehen wir ja, ob er stimmt.
> und wie geht man die b) an?
Was hast Du Dir überlegt? An welcher Stelle gibt's Probleme?
LG Angela
|
|
|
| |
|
Ich weiß es kommt reichlich spät, aber ich glaube, dass Aufgabe 4 von Blatt 8 genau diese Aufgabe komplett lösen kann!
Über die Begründung, dass ker(f) = Im (f) genau dann wenn dim (v) gerade ist.
|
|
|
|
