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| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^n \mapsto \IR^n [/mm] eine lineare Abbilgung und g = f [mm] \circ [/mm] f die itterierte
Abbildung. Beweisen Sie, dass dimKern(g) [mm] \le [/mm] 2 · dimKern(f).
Geben Sie Beispiele an in denen
a) Gleichheit,
b) scharfe Ungleichung
gilt.
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Hallo, hier ist nochmal so eine Aufgabe, wo ich nicht weiß, was ich tun soll? Was genau ist hier die Frage? Könnte mir jemand einen Ansatz geben?
Danke...
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> Sei f: [mm]\IR^n \mapsto \IR^n[/mm] eine lineare Abbilgung und g = f
> [mm]\circ[/mm] f die itterierte
> Abbildung. Beweisen Sie, dass dimKern(g) [mm]\le[/mm] 2 ·
> dimKern(f).
>
> Geben Sie Beispiele an in denen
>
> a) Gleichheit,
> b) scharfe Ungleichung
>
> gilt.
>
> Hallo, hier ist nochmal so eine Aufgabe, wo ich nicht weiß,
> was ich tun soll? Was genau ist hier die Frage? Könnte mir
> jemand einen Ansatz geben?
> Danke...
Hallo,
gegeben ist eine lineare Abbildung f.
Diese hat einen Kern, und dieser Kern hat eine Dimension.
Nun sollst Du die Abbildung [mm] f^2=f\circ [/mm] f betrachten.
Auch dies ist eine lineare Abbildung, auch diese lineare Abbildung hat einen Kern, und natürlich hat auch dieser Kern eine Dimension.
Zeigen sollst Du nun, daß die Dimension des Kerns von [mm] f^2 [/mm] höchstens doppelt so groß sein kann wie die von Kern f.
Du sollst ein Beispiel bringen für eine konkrete Funktion mit
[mm] dimKernf^2=2*dimKern [/mm] f
und für eine solche mit [mm] dimKernf^2<2*dimKern [/mm] f.
Zur Vorgehensweise: ich würde mir erstmal überlegen, ob Kernf und [mm] Kernf^2 [/mm] irgendwie zusammenhängen.
Dann könntest Du zeigen, daß die Annahme, daß [mm] kernf^2>2*kernf [/mm] ist, zum Widerspruch führt.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Do 15.05.2008 | | Autor: | Fawkes |
Hallo,
ich glaube das dimKernf und dimKerng durch ihre bilder zusammenhängen jedoch weiß ich nicht wie ich das beweisen geschweige denn zeigen soll das dimkernf<dimkerng ist. Könntet ihr mir da irgendwelche lösungsansätze geben?
mfg fawkes
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> ich glaube das dimKernf und dimKerng durch ihre bilder
> zusammenhängen
Hallo,
was meinst Du damit?
> dimKernf und dimKerng
sind natürlich Zahlen. Von welchen Bildern redest Du?
Meinst Du dies: für [mm] f:V\to [/mm] W gilt dimV=dimKernf+dimBildf ?
Ich denke nicht, daß Du das hier mit Gewinn verwerten kannst.
> jedoch weiß ich nicht wie ich das beweisen
> geschweige denn zeigen soll das dimkernf<dimkerng ist.
Es gilt [mm] dimkernf\green{\le}dimkerng.
[/mm]
Zeige, daß dimkernf>dimkerng zu einem Widerspruch führt.
Nimm dazu eine Basis von Kernf und wende [mm] f^2 [/mm] auf diese Basis an.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Do 15.05.2008 | | Autor: | blascowitz |
Fehlt in der Ungleichung nicht eine zwei? Zu zeigen ist dass die Annahme [mm] $\dim \ker f^2> \dim 2*\ker [/mm] f$ zu einem Widerspruch führt. Denn die Ungleichung ohne die zwei gilt trivialerweise, das [mm] \ker(f)\subseteq \ker(f^2).
[/mm]
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> Fehlt in der Ungleichung nicht eine zwei?
Hallo,
in der Tat fehlt die!
Ich hab's in meiner Antwort korrigiert.
Danke für den Hinweis.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Kann ich mit folgenden Informationen was anfangen?
Wir wissen ja, dass wenn f keine Nullabbildung ist, der Kern die Dimension n-1 hat? Das würde aber heißen, dass nach Dimensionsformel die Dimension des Bildes "immer" 1 sein muss. Denn: dim(f(Kern)) + dim(f(Bild)) = dim(V).
Bringe ich da gedanklich was durcheinander? |
Danke...
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| Aufgabe | | Kann mir jemand einen Ansatz oder zumindest einen Tip für den Ansatz geben? |
Danke...
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> Wir wissen ja, dass wenn f keine Nullabbildung ist, der
> Kern die Dimension n-1 hat?
Hallo,
woher wissen wir das? Wie kommst Du darauf?
Hm. Meinst Du vielleicht, daß der Kern dann höchstens die Dimension n-1 hat? Das würde stimmen, nützlich erscheint es mir nicht.
Du solltest erstmal zeigen (oder wissen), daß [mm] Kernf\subseteq Kernf^2 [/mm] ist, und anschließend kannst Du den Beweis der zu zeigenden Aussage per Widerspruch führen, indem Du annimmst, daß [mm] dimKernf^2>2dimKernf [/mm] ist.
Nimm Dir hierzu eine Basis von Kernf und ergänze sie zu einer Basis von [mm] Kernf^2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | | Ich bin jetzt sämtliche Vorlesungen durchgegangen und auch in Büchern nachgeguckt. Finde aber keinen Hinweis darauf, wie man den Kern und das Bild einer Linearen Abbildung von [mm] IR^n [/mm] nach [mm] IR^n [/mm] errechnet. |
Kann mir jemand einen Ansatz geben?
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> Ich bin jetzt sämtliche Vorlesungen durchgegangen und auch
> in Büchern nachgeguckt. Finde aber keinen Hinweis darauf,
> wie man den Kern und das Bild einer Linearen Abbildung von
> [mm]IR^n[/mm] nach [mm]IR^n[/mm] errechnet.
> Kann mir jemand einen Ansatz geben?
Hallo,
das Niveau dieser Frage ist aber um deutliches Stückchen von dem der Eingangsfrage entfernt...
Weißt Du denn, was der Kern einer linearen Abbildung ist? Mit diesem Wissen ist eigentlich der Lösungsweg zementiert: wenn Du Dich für Kernf interessierst, mußt Du f(x)=0 lösen.
Das Bild einer linearen Abbildung [mm] f:V\to [/mm] W ist der (Unter)Raum, der von dem Bild einer Basis von von V aufgespannt wird.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Ich weiß, dass der Kern einer linearen Abbildung die Menge der Vektoren aus V ist, die durch f auf den Nullvektor von W abgebildet werden.
Meine Frage war jetzt nur, wie ich den Kern einer Abbildung ausrechne, wo ich doch überhaupt keine Funktionsvorschrift habe. Ich weiß nur, dass V und W dieselbe Dimension haben. "f(x)=0 lösen" bringt mich da nicht wirklich weiter, wo ich ja nicht weiß, wie f aussieht! |
Kann mir jemand einen Ansatz geben?
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> Ich weiß, dass der Kern einer linearen Abbildung die Menge
> der Vektoren aus V ist, die durch f auf den Nullvektor von
> W abgebildet werden.
> Meine Frage war jetzt nur, wie ich den Kern einer
> Abbildung ausrechne, wo ich doch überhaupt keine
> Funktionsvorschrift habe. Ich weiß nur, dass V und W
> dieselbe Dimension haben. "f(x)=0 lösen" bringt mich da
> nicht wirklich weiter, wo ich ja nicht weiß, wie f
> aussieht!
> Kann mir jemand einen Ansatz geben?
Hallo,
irgendwie verstehe ich das nicht: ich habe den Eindruck, daß ich schon mehrmal einen Ansatz geliefert habe.
1. Zeig kernf [mm] \subseteq kernf^2:
[/mm]
Sei [mm] x\in [/mm] Kernf ==> f(x)=0, und nun mußt Du zeigen, daß dieses x auch in [mm] Kernf^2 [/mm] ist.
2. Nimm dann an, daß [mm] Dimkernf^2>2kernf [/mm] .
Ergänze hierzu eine Basis von Kern f zu einer Basis von [mm] Kernf^2 [/mm] und erzeuge einen Widerspruch.
Gruß v. Angela
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