differenzierbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Mi 08.04.2009 | | Autor: | erisve |
| Aufgabe | | Zeigen Sie dass die Funktion [mm] f:\IR²\to\IR [/mm] mit [mm] f(x,y)=\bruch{x²y²}{\wurzel{x²+y²}} [/mm] für [mm] (x,y)\not=(0,0) [/mm] und f(0,0)=0 in allen Punkten des [mm] \IR² [/mm] differenzierbar ist. |
Und noch ein letzte Aufgabe die ich nur zum Teil lösen kann, dass die Funktion für [mm] (x,y)\not=(0,0) [/mm] differenzierbar ist, ist klar, da alle partiellen Ableitungen stetig sind, nur wie ziegt man dies nun für (x,y)=(0,0)
Ich habe es schon mit der Jakobimatrix und der Definion für totale Differnzierbarkeit probiert nur irgendwie komme ich da zu keinem Ergenis.
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> Zeigen Sie dass die Funktion [mm]f:\IR²\to\IR[/mm] mit
> [mm]f(x,y)=\bruch{x²y²}{\wurzel{x²+y²}}[/mm] für [mm](x,y)\not=(0,0)[/mm] und
> f(0,0)=0 in allen Punkten des [mm]\IR²[/mm] differenzierbar ist.
Hallo,
es geht also um den Punkt (0,0).
Zeige hier zuerst die partielle Differenzierbarkeit (mit dem Differenzenquotienten) und zeige dann, daß die partiellen Ableitungen stetig in (0,0) sind.
Du mußt also berechnen
[mm] \lim_{x\to 0}\bruch{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}, [/mm] für y analog.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:11 Do 09.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie dass die Funktion [mm]f:\IR²\to\IR[/mm] mit
> [mm]f(x,y)=\bruch{x²y²}{\wurzel{x²+y²}}[/mm] für [mm](x,y)\not=(0,0)[/mm] und
> f(0,0)=0 in allen Punkten des [mm]\IR²[/mm] differenzierbar ist.
> Und noch ein letzte Aufgabe die ich nur zum Teil lösen
> kann, dass die Funktion für [mm](x,y)\not=(0,0)[/mm] differenzierbar
> ist, ist klar, da alle partiellen Ableitungen stetig sind,
> nur wie ziegt man dies nun für (x,y)=(0,0)
> Ich habe es schon mit der Jakobimatrix und der Definion
> für totale Differnzierbarkeit probiert nur irgendwie komme
> ich da zu keinem Ergenis.
Du musst zeigen:
[mm] $\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\bruch{f(x,y)-f(0,0)-gradf(0,0)\vektor{x \\ y}}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] = 0$
Der obige Quotient ist aber sehr einfach:
[mm] $\bruch{f(x,y)-f(0,0)-gradf(0,0)\vektor{x \\ y}}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] = [mm] \bruch{x^2y^2}{x^2+y^2}$
[/mm]
FRED
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