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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Gopal |
| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix [mm] a=\pmat{ 2 & -1&1 \\ -1 & 2&-1\\1&-1&2 }
[/mm]
a) Berechnen Sie die Eigenwerte von A.
b)Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix S mit der Eigenschaft, dass D:= [mm] SAS^{-1} [/mm] eine Diagonalmatrix ist. |
Hallo.
also a) habe ich über das charakteristische Polynom berechnet:
[mm] |xE-A|=(x-4)(x-1)^2. [/mm] Also Eigenwerte 4 und 1, wenn ich mich nicht vertan habe.
Aber wie gehe ich jetzt b) an? Kann mir jemand ein paar Tipps geben?
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> Gegeben sei die Matrix [mm]a=\pmat{ 2 & -1&1 \\ -1 & 2&-1\\1&-1&2 }[/mm]
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> a) Berechnen Sie die Eigenwerte von A.
> b)Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix S mit der
> Eigenschaft, dass D:= [mm]SAS^{-1}[/mm] eine Diagonalmatrix ist.
> Hallo.
>
> also a) habe ich über das charakteristische Polynom
> berechnet:
> [mm]|xE-A|=(x-4)(x-1)^2.[/mm] Also Eigenwerte 4 und 1, wenn ich
> mich nicht vertan habe.
>
> Aber wie gehe ich jetzt b) an? Kann mir jemand ein paar
> Tipps geben?
Hallo,
um weiterzukommen, benötigst Du die Eigenvektoren.
Berechne also jeweils die Eigenräume zu den Eigenwerten 4 und 1.
Du erhältst drei linear unabhängige Eigenvektoren, und weil es diese gibt, ist die Matrix diagonalisierbar.
Die Eigenvektoren stell dann als Spalten in eine Matrix T, berechne [mm] T^{-1}.
[/mm]
Die Diagonalmatrix D erhältst Du dann so:
[mm] D=T^{-1}AT.
[/mm]
Gruß v. Angela
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