diagonalisierbare matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Mi 03.05.2006 | | Autor: | Lee1601 |
| Aufgabe | Sei
A: 1001
0100
0010
1001
(das soll ne matrix sein)
zeigen sie: A ist diagonalisierbar und bestimmen sie eine matrix S, sodass S*A*S^-1 eine diagonalmatrix ist. |
Hallo!
habe die eigenwerte berechnet (bei mir sinds 3 stk. und zwar 1,2,0) und die dazugehörigen eigenräume mit eigenvektoren. die eigenvektoren muss man ja dann als spalten der matrix S aufschreiben. ich habe aber nur 3 vektoren, also kommt für S keine quadratische matrix raus - da muss doch irgendwas falsch sein oder? es müsste noch ein vektor mehr sein.
hab ich mich irgendwo verrechnet??
kann mal bitte einer von euch die aufgabe durchrechnen und mir seine werte sagen??
vielen dank!
lg
Linda
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 Mi 03.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Linda!
> Sei
> A: 1001
> 0100
> 0010
> 1001
>
> (das soll ne matrix sein)
>
> zeigen sie: A ist diagonalisierbar und bestimmen sie eine
> matrix S, sodass S*A*S^-1 eine diagonalmatrix ist.
> Hallo!
>
> habe die eigenwerte berechnet (bei mir sinds 3 stk. und
> zwar 1,2,0) und die dazugehörigen eigenräume mit
> eigenvektoren. die eigenvektoren muss man ja dann als
> spalten der matrix S aufschreiben. ich habe aber nur 3
> vektoren, also kommt für S keine quadratische matrix raus -
> da muss doch irgendwas falsch sein oder? es müsste noch ein
> vektor mehr sein.
> hab ich mich irgendwo verrechnet??
> kann mal bitte einer von euch die aufgabe durchrechnen und
> mir seine werte sagen??
Wenn du uns verraetst, ueber welchem Koerper du arbeitest, kann das vielleicht jemand tun...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:42 Mi 03.05.2006 | | Autor: | Lee1601 |
Es ist kein Körper angegeben - ich denke also mal, dass R (oder [mm] R^4??) [/mm] gemeint ist.
sorry, aber auf meinem aufgabenzettel steht nicht mehr als ich in der Frage eingegeben habe.
Hoffe, ihr könnt mir trotzdem irgendwie sagen, was ich falsch gemacht habe bzw ob soweit alles richtig ist (mir fehlt ja auch eigentlich nur noch die matrix S)
lg
linda
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:53 Mi 03.05.2006 | | Autor: | felixf |
> Es ist kein Körper angegeben - ich denke also mal, dass R
Du meinst [mm] $\IR$, [/mm] oder?
> (oder [mm]R^4??)[/mm] gemeint ist.
Wenn schon, dann [mm] $\IR$ [/mm] und nicht [mm] $\IR^4$: [/mm] das ist kein Koerper, sondern ein Ring (mit vielen Nullteilern).
> Hoffe, ihr könnt mir trotzdem irgendwie sagen, was ich
> falsch gemacht habe bzw ob soweit alles richtig ist (mir
> fehlt ja auch eigentlich nur noch die matrix S)
Schreib doch mal die Eigenraeume hin die du schon hast. Das macht es einfacher das was du hast zu ueberpruefen...
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Mi 03.05.2006 | | Autor: | TomJ |
Hallo Linda,
die Eigenwerte lauten 0, 1, 1, 2.
Da die Determinante somit 0 ist, verschwindet eine Reihe der Diagonalmatrix, ist also 0000.
Gruß, Thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Mi 03.05.2006 | | Autor: | Lee1601 |
heißt das, dass die diagonalisierte matrix keine 4x4 sondern nur noch ne 3x3 matrix ist?
wie sieht denn bei dir die matrix S aus? also was sind die eigenvektoren? und welche determinante wird 0?
sorry, dass ich noch so viele möglicherweise banale fragen habe.
lg
linda
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:58 Do 04.05.2006 | | Autor: | Fulla |
hi linda (und alle anderen, die hier mitdiskutieren)!
ich bin neu hier und auf der suche nach einer hilfe für MEIN übungsblatt auf diese frage gestoßen....
also:
die eigenwerte stimmen (0, 1, 2) da [mm] \lambda [/mm] = 1 zweifacher eigenwert ist, gibt es hierfür auch 2 eigenvektoren (ich weiß nicht, ob das allgemeingültig ist, aber hier stimmt es zumindest)...
die EV sind dann also:
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ -1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}.
[/mm]
daraus bildet man dann die matrix S, invertiert sie und *zack* schon steht's da! 
liebe grüße,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:38 Do 04.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Fulla!
> ich bin neu hier und auf der suche nach einer hilfe für
> MEIN übungsblatt auf diese frage gestoßen....
Vielleicht 'kennt' ihr euch ja ohne es zu wissen
> also:
> die eigenwerte stimmen (0, 1, 2) da [mm]\lambda[/mm] = 1 zweifacher
> eigenwert ist, gibt es hierfür auch 2 eigenvektoren (ich
> weiß nicht, ob das allgemeingültig ist, aber hier stimmt es
> zumindest)...
Allgemeingueltig ist das nicht. Wenn ein Eigenwert Vielfachheit $k$ hat, dann ist der Eigenraum hoechstens $k$-dimensional (aber immer mindestens eindimensional, wenn der Eigenwert auftritt). Wenn es vorkommt, das ein Eigenraum nicht die maximale Dimension hat, so ist die Matrix nicht diagonalisierbar. Zum Beispiel $A = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } \in \IR^{2 \times 2}$; [/mm] der Eigenwert $0$ hat Vielfachheit $2$, aber der Eigenraum ist [mm] $\mathrm{Eig}(A, [/mm] 0) = [mm] \mathrm{span}_\IR \vektor{0 \\ 1}$ [/mm] und somit eindimensional...
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:43 Do 04.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Linda!
> heißt das, dass die diagonalisierte matrix keine 4x4
> sondern nur noch ne 3x3 matrix ist?
Nein. Die diagonalisierte Matrix ist immer vom gleichen Format wie die Ausgangsmatrix, und ebenso die Transformationsmatrix $S$!
> wie sieht denn bei dir die matrix S aus? also was sind die
> eigenvektoren? und welche determinante wird 0?
Die Determinante (von der urspruenglichen Matrix und von der diagonalisierten Matrix) ist 0 genau dann, wenn 0 auch ein Eigenwert ist. Das meinte Thomas damit, dass eine Zeile `verschwindet' (verschwinden bedeutet in der Mathematik immer, dass es komplett 0 ist, und nicht, dass es sozusagen aufhoert zu existieren ).
> sorry, dass ich noch so viele möglicherweise banale fragen
> habe.
Noe, banal sind die nicht. Wenn man solche Fragen hat und sie nicht stellt findet man meistens auch die Antworten nicht raus und lernt nix. :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 Mi 03.05.2006 | | Autor: | Lee1601 |
meine eigenräume sehen so aus:
zum eigenwert 1: span des vektors (0110)
zum eigenwert 0: span des vektors (100-1)
zum eigenwert 2: span des vektors (1001)
wenn ich die als spalten der matrix S aufschreibe, ist S aber nicht quadratisch und somit auch nicht invertierbar, d.h. es gäbe kein S^-1. also fehlt mir doch irgendwie ein vektor
hoffe, das hilft dir weiter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:32 Mi 03.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> meine eigenräume sehen so aus:
>
> zum eigenwert 1: span des vektors (0110)
Der Eigenraum zu 1 sollte zweidimensional sein! Maple spuckt mir zwei Vektoren aus, aus denen du diesen hier linear kombinieren kannst. Ueberpruef nochmal die Rechnung hierfuer!
> zum eigenwert 0: span des vektors (100-1)
> zum eigenwert 2: span des vektors (1001)
Die sind richtig.
> wenn ich die als spalten der matrix S aufschreibe, ist S
> aber nicht quadratisch und somit auch nicht invertierbar,
> d.h. es gäbe kein S^-1. also fehlt mir doch irgendwie ein
> vektor
Es muss aber ne quadratische Matrix rauskommen, ansonsten macht das ganze keinen Sinn. Wenn du zu wenig Eigenvektoren haettest, waer die Matrix nicht invertierbar.
LG Felix
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