dgl, 1 ordnung,nonlinear < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 So 06.03.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Lösen Sie x'(t)= x(1-x) - c. |
Hallo,
Die Aufgabe bereitet eigentlich keine Probleme. Aber ich frage mich wie man auf die Lösung von wolfram alpha kommt:https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%27%28t%29%3D+x%281-x%29-c
Kurzform meiner Lösung:
f(x(t)):= x (1-x)-c
[mm] \int \frac{dy}{f(y)} [/mm] dy = [mm] \int \frac{x'(t)}{f(x(t))} [/mm] dt = [mm] \int [/mm] 1 dt = t +k
[mm] \int \frac{dy}{y(1-y) -c}=\int \frac{dy}{(y- \frac{1 - \sqrt{1-4c}}{2})(y- \frac{1 + \sqrt{1-4c}}{2})}= \frac{1}{\sqrt{1-4c}} ln(\frac{y - \frac{1 + \sqrt{1-4c}}{2}}{y - \frac{1 - \sqrt{1-4c}}{2}}) [/mm] hab ich mittels Partialbruchzerlegung gelöst
Nun habe ich das invertiert für eine explizite Lösung:
y= [mm] \frac{- \frac{1 + \sqrt{1-4c}}{2} e^{- \sqrt{1-4c}(t+k)}+\frac{1 - \sqrt{1-4c}}{2}}{1 - e^{- \sqrt{1-4c}(t+k)}}
[/mm]
Wie kommt der tangens zustande?
LG,
Sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:16 So 06.03.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \sqrt(1-4c)=i*sqrt(4c-1)
[/mm]
und dann die def von tan durch die [mm] e^{ix} [/mm] Funktionen
ich habe aber nicht nachgerechnet
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:38 Mo 07.03.2016 | | Autor: | fred97 |
Ist etwas über c bekannt ? Ist c>1/4, so kommst Du mit Deiner Lösung ins Komplexe und dann ist es überhaupt nicht klar, was [mm] \ln [/mm] sein soll
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Mo 07.03.2016 | | Autor: | sissile |
Hallo
Ich habe:
$ [mm] \int \frac{dy}{y(1-y) -c}=\int \frac{dy}{(y- \frac{1 - \sqrt{1-4c}}{2})(y- \frac{1 + \sqrt{1-4c}}{2})}= [/mm] - [mm] \int \frac{1}{\sqrt{1-4c}(y- \frac{1 - \sqrt{1-4c}}{2})} [/mm] dx + [mm] \int \frac{1}{\sqrt{1-4c}(y- \frac{1 + \sqrt{1-4c}}{2})} dy=\frac{1}{\sqrt{1-4c}} ln(\frac{y - \frac{1 + \sqrt{1-4c}}{2}}{y - \frac{1 - \sqrt{1-4c}}{2}}) [/mm] $
für c < 1/4.
Wenn nun c>1/4 ist, kann ich den letzten Schritt so nicht durchführen:
- [mm] \int \frac{1}{\sqrt{1-4c}(y- \frac{1 - \sqrt{1-4c}}{2})} [/mm] dx + [mm] \int \frac{1}{\sqrt{1-4c}(y- \frac{1 + \sqrt{1-4c}}{2})} [/mm] dy=- [mm] \int \frac{1}{\sqrt{1-4c}(y- \frac{1 - i \sqrt{-1+4c}}{2})} [/mm] dx + [mm] \int \frac{1}{\sqrt{1-4c}(y- \frac{1 + i \sqrt{-1+4c}}{2})} [/mm] dy=
[mm] \frac{1}{i\sqrt{-1+4c}} [/mm] *[- [mm] \frac{1}{\frac{1}{2} ln (\frac{y^2-2y+4c}{4})+ i arctan(\frac{\sqrt{-1+4c}}{2})+2k_0 \pi}+\frac{1}{\frac{1}{2} ln (\frac{y^2-2y+4c}{4})+ i arctan(-\frac{\sqrt{-1+4c}}{2})+2k_1 \pi} [/mm] ]
Nun ist doch arctan(-x)=-arctan(x). Dementsprechend kann ich das Minus herausziehen bei letzten nenner.
Das scheint aber nicht sehr zielorientiert für die Lösung der Dgl zu sein! Außerdem bin ich mir unsicher ob das überhaupt simmt..
Über c weiß ich leider sonst nichts.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Mo 07.03.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast zu integrieren [mm] 1/(y^2-y-c)=1/(y-1/2)^2-(1/4+c))
[/mm]
durch Substitution [mm] 1/(u^2+1) [/mm] oder [mm] 1/(u^2-1) [/mm] je nach vorzeichen von 1/4+c
im ersten Fall kommst du auf arctan(u) im zweiten auf ln((x+1)/(lnx-1))
also je nach c 2 verschiedene Lösungen.
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:23 Mo 07.03.2016 | | Autor: | sissile |
Vielen Dank für den Tipp. Ich war zum Ende hin wirklich etwas verwirrt wie ich das nun lösen soll. Es war zwar eine kleine Rechnerei aber mit deinen Lösungsvorschlag einfach runterzurechnen.
LG,
sissi
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