det eines Endomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe eine Frage zu der folgenden Aufgabe bzw. zu meiner Lösung der Aufgabe.
Aufgabe:
Es sei V = [mm] \IR^{2×3} [/mm] der Vektorraum der reellen 2×3 Matrizen. In V ist durch:
[mm] \Phi: [/mm] V [mm] \to [/mm] V
[mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} } \mapsto \pmat{ a_{11} - a_{21} & a_{12} + a_{22} & 2 a_{13} + a_{23} \\ a_{11} + a_{21} & -a_{12} + 2 a_{22} & a_{13} + 4 a_{23} }
[/mm]
ein Endomorphismus gegeben. Bestimmen Sie [mm] det(\Phi).
[/mm]
Meine Lösung:
Überlegung: [mm] det(\Phi) [/mm] ist gleich der Determinante der Abbildungsmatrix von [mm] \Phi.
[/mm]
Also bestimme ich die Abbildungsmatrix von [mm] \Phi [/mm] zu einer geordneten Basis B von [mm] \IR^{2×3}.
[/mm]
B = [mm] (b_{11}, b_{12}, b_{13}, b_{21}, b_{22}, b_{23}), [/mm] wobei [mm] b_{ij} [/mm] der Matrix entspricht, die nur aus Nullen besteht und lediglich in Zeile i und Spalte j eine 1 hat.
[mm] b_{11} [/mm] wäre dann [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Nun setze ich nacheinander jede Matrix aus B in [mm] \Phi [/mm] ein und drücke das Ergebnis als Linearkombination von Matrizen aus B aus.
[mm] \Phi(b_{11}) [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 } [/mm] = [mm] b_{11} [/mm] + [mm] b_{21}
[/mm]
[mm] \Phi(b_{12}) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 } [/mm] = [mm] b_{12} [/mm] - [mm] b_{22}
[/mm]
[mm] \Phi(b_{13}) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] = 2 [mm] b_{13} [/mm] + [mm] b_{23}
[/mm]
[mm] \Phi(b_{21}) [/mm] = [mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 } [/mm] = [mm] -b_{11} [/mm] + [mm] b_{21}
[/mm]
[mm] \Phi(b_{22}) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 } [/mm] = [mm] b_{12} [/mm] + 2 [mm] b_{22}
[/mm]
[mm] \Phi(b_{23}) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] = 4 [mm] b_{13} [/mm] + [mm] b_{23}
[/mm]
Nun ergibt das folgende Abbildungsmatrix:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1} [/mm] =: [mm] A_{\Phi}
[/mm]
Und [mm] det(A_{\Phi}) [/mm] = -6.
Die Musterlösung hat eine andere Determinante, nämlich 42.
Irgendwie lässt mich die Musterlösung an Per Anhalter durch die Galaxis denken... - naja :)
Die Musterlösung hat die Basis anders geordnet und folglich auch ein anderes Ergebnis rausbekommen.
Daher nehme ich an, dass es auf die Ordnung der Basis ankommt. Aber wer bestimmt die Ordnung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:22 Fr 20.02.2009 | | Autor: | statler |
Hallo!
Die 1. Spalte stimmt nicht. Die Spalten der Abb.-matrix sind die Bilder Basisvektoren. Weiter hab ich nicht geguckt.
Gruß
Dieter
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Ups. Hab die Matrix korrigiert. Ergebnis (also die Determinante) stimmt dennoch nicht mit der Musterlösung überein.
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Hallo visionmaster,
>
> Nun ergibt das folgende Abbildungsmatrix:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1}[/mm]
> =: [mm]A_{\Phi}[/mm]
>
> Und [mm]det(A_{\Phi})[/mm] = -6.
>
> Die Musterlösung hat eine andere Determinante, nämlich 42.
Die stimmt auch
>
> Irgendwie lässt mich die Musterlösung an Per Anhalter durch
> die Galaxis denken... - naja :)
>
> Die Musterlösung hat die Basis anders geordnet und folglich
> auch ein anderes Ergebnis rausbekommen.
>
> Daher nehme ich an, dass es auf die Ordnung der Basis
> ankommt. Aber wer bestimmt die Ordnung?
Die Basis ist so angeordnet, wie du das auch gemacht hast, [mm] $b_{11}=\pmat{1&0&0\\0&0&0},...,b_{23}=\pmat{0&0&0\\0&0&1}$
[/mm]
Trotz der Korrektur der ersten Spalte steckt immer noch ein Fehler in der letzten Spalte, dort hast du die 4 und die 1 vertauscht
Dieser Dreher steckt schon in deinem berechneten [mm] $\Phi(b_{23})$ [/mm] ...
Daher das Ungemach mit der falschen Det.
Wenn du das mal änderst und die Det. ausrechnest (oder ausrechnen lässt  ), kommst du auch auf die 42
LG
schachuzipus
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