cos(x)=2x < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Mo 07.11.2011 | | Autor: | Sedaka |
| Aufgabe | | Wieviele lokale Extrema besitzt die Funktion e^(sin x -x²) im Intercall ]0,pi/2[ und von welchem Typ sind diese. |
Ich kann eigendlich alles selber, aber ich scheitere an der simplen Gleichung:
cos(x)-2x=0
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Hallo Sedaka,
> Wieviele lokale Extrema besitzt die Funktion e^(sin x -x²)
> im Intercall ]0,pi/2[ und von welchem Typ sind diese.
> Ich kann eigendlich alles selber, aber ich scheitere an
> der simplen Gleichung:
>
> cos(x)-2x=0
Zeichne die Funktionen [mm]\cos\left(x\right)[/mm] und [mm]2x[/mm]
in ein Koordinatensystem ein und betrachte die Schnittpunkte.
Die Gleichung selbst kannst Du nur iterativ lösen,
d.h. durch Anwendung z.B des Newtonverfahrens.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Mo 07.11.2011 | | Autor: | Sedaka |
Okay, ich brauche aber den exakten, von pi abhängigen Wert um die Aufgabe richtig zu lösen, wie bekomme ich den über das Newton verfahren? Ich habe einmal versucht damit zu rechnen, kann es aber nicht.
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Hallo Sedaka,
> Okay, ich brauche aber den exakten, von pi abhängigen Wert
> um die Aufgabe richtig zu lösen, wie bekomme ich den über
> das Newton verfahren? Ich habe einmal versucht damit zu
> rechnen, kann es aber nicht.
Als erstes benötigst Du einen Startwert [mm]x_{0}[/mm]
Dann ist
[mm]x_{1}=x_{0}-\bruch{f\left(x_{0}\right)}{{f'\left(x_{0}\right)}[/mm]
ein bessser Näherungswert.
Das Verfahren wiederholst Du so oft,
bis die gewünsche Genauigkeit erreicht ist.
Nächster Schritt:
[mm]x_{2}=x_{1}-\bruch{f\left(x_{1}\right)}{{f'\left(x_{1}\right)}[/mm]
Gruss
MathePower
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Für die Beantwortung der Frage brauchst Du die Lösung von cosx = 2x NICHT,
auch nicht, um das VZ der 2ten Ableitung zu bestimmen - einer der
Summanden dieser ist ja ....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Mo 07.11.2011 | | Autor: | Sedaka |
Wie löse ich die Aufgabe denn?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Mo 07.11.2011 | | Autor: | hippias |
> Wie löse ich die Aufgabe denn?
Man koennte ueber Stetigkeit und Monotonie argumentieren.
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Es ist nur nach Anzahl und Art der Extrema gefragt.
Daß [mm]\textrm{cos}x = 2*x[/mm] im gegebenem Inervall nur eine Lösung
hat zeigt eine grobe Skizze, es gibt also NUR EIN
EXTREMUM , [mm]x_{ext}>0[/mm];
Bestimmung der Art des Extremums: [mm]f''(x) = (-\textrm{sin}x-2)*f(x)+(\textrm{cos}x-2*x)*f'(x)[/mm]
da der 2te Summand 0*0 ist für [mm]x_{ext}[/mm], ist <span class="math">[mm]f''(x_{ext}) < 0[/mm],
das Extremum also ein MAXIMUM
</span>
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