cos(5s) durch cos(s)ausdrücken < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:56 Fr 27.11.2009 | | Autor: | Steirer |
| Aufgabe | | Drücken sie cos(5s) durch cos(s) aus. |
Also ich habe mal folgendermaßen angefangen:
cos(5s)=cos(5s)+cos(s)-cos(s)=2*cos(3s)*cos(2s)-cos(s)
cos(3s) kann ich umschreiben in
cos(3s)=cos(3s)+cos(s)-cos(s)=2*cos(2s)*cos(s)-cos(s)
Jetzt weis ich aber nicht was ich mit den cos(2s) machen soll.
Alle Versuche cos(2s) durch cos(s) auszudrücken sind bis jetzt gescheitert. Hat jemand eine idee?
Ich habs probiert mit:
cos(2s) =cos(s)*cos(s)= 1/2(cos(2s)+1) mir auch nicht weiterhilft.
Danke.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:10 Fr 27.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Sieh mal hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie
Als Lösung sollte rauskommen: [mm] cos(5s)=16cos^5(x)-20cos^3(x)+5cos(x) [/mm]
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> Drücken sie cos(5s) durch cos(s) aus.
> Also ich habe mal folgendermaßen angefangen:
>
> cos(5s)=cos(5s)+cos(s)-cos(s)=2*cos(3s)*cos(2s)-cos(s)
>
> cos(3s) kann ich umschreiben in
>
> cos(3s)=cos(3s)+cos(s)-cos(s)=2*cos(2s)*cos(s)-cos(s)
>
> Jetzt weiss ich aber nicht was ich mit den cos(2s) machen
> soll.
> Alle Versuche cos(2s) durch cos(s) auszudrücken sind bis
> jetzt gescheitert. Hat jemand eine idee?
>
> Ich habs probiert mit:
> cos(2s) =cos(s)*cos(s)= 1/2(cos(2s)+1) mir auch nicht
> weiterhilft.
>
> Danke.
Hallo Steirer,
die "Umformungen", die du hier angibst, kommen mir
ziemlich sonderbar vor. Was du brauchst, ist:
1.) die Doppelwinkelformeln
$\ [mm] cos(2*s)=cos^2(s)-sin^2(s)=2*cos^2(s)-1$
[/mm]
und die entsprechende für den Sinus
2.) das Additionstheorem
$\ cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)$
3.) die "Pythagoras"-Formel
$\ [mm] sin^2(s)+cos^2(s)=1$
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:25 Fr 27.11.2009 | | Autor: | Steirer |
> > Drücken sie cos(5s) durch cos(s) aus.
> > Also ich habe mal folgendermaßen angefangen:
> >
> > cos(5s)=cos(5s)+cos(s)-cos(s)=2*cos(3s)*cos(2s)-cos(s)
> >
> > cos(3s) kann ich umschreiben in
> >
> > cos(3s)=cos(3s)+cos(s)-cos(s)=2*cos(2s)*cos(s)-cos(s)
> >
> > Jetzt weiss ich aber nicht was ich mit den cos(2s) machen
> > soll.
> > Alle Versuche cos(2s) durch cos(s) auszudrücken sind
> bis
> > jetzt gescheitert. Hat jemand eine idee?
> >
> > Ich habs probiert mit:
> > cos(2s) =cos(s)*cos(s)= 1/2(cos(2s)+1) mir auch nicht
> > weiterhilft.
> >
> > Danke.
>
>
> Hallo Steirer,
>
> die "Umformungen", die du hier angibst, kommen mir
> ziemlich sonderbar vor. Was du brauchst, ist:
>
> 1.) die Doppelwinkelformeln
>
> [mm]\ cos(2*s)=cos^2(s)-sin^2(s)=2*cos^2(s)-1[/mm]
>
> und die entsprechende für den Sinus
>
> 2.) das Additionstheorem
>
> [mm]\ cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)[/mm]
>
> 3.) die "Pythagoras"-Formel
>
> [mm]\ sin^2(s)+cos^2(s)=1[/mm]
>
>
> LG Al-Chw.
Hallo,
ich muß gestehen mir helfen diese formeln nicht wirklich weiter weil ich nicht sehe wie ich sie anwenden soll.
könntest du mir vieleicht noch einen hinweis geben?
Danke
lg
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> Hallo,
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> ich muß gestehen mir helfen diese formeln nicht wirklich
> weiter weil ich nicht sehe wie ich sie anwenden soll.
>
> könntest du mir vieleicht noch einen hinweis geben?
Hallo,
ein bißchen probieren und spielen muß man sicher schon damit.
Du kannst nicht erwarten, daß es beim Blick auf die Formeln einen Knall gibt und schwupps steht die Lösung da. Wir sind ja nicht in 'nem Märchenfilm....
Versuchen könnte man mal, cos(5x) zu schreiben als cos(x+4x), später mag der glorreiche gedanke, daß 4x=2*2x, möglicherweise hilfreich sein.
Wie gesagt: leg doch einfach mal los - mit den gültigen Formeln und nicht mit ausgedachten.
Wenn Du nicht weiterkommst, zeig, was Du bis dahin getan hast.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Sa 28.11.2009 | | Autor: | yabee |
Ich versuche nun schon sehr lange, auf eine Lösung zu kommen, allerdings bleibt mir immer [mm] \wurzel{1-Cos^2(s)} [/mm] (weil ich das Sin(s) wegbekommen möchte) oder, wenn ich es ein wenig anders rechne, [mm] Sin^3(s) [/mm] über. Die Lösung sollte ja laut Wikipedia [mm] 16Cos^5(s)-20Cos^3(s)+5Cos(s) [/mm] sein ...
Bitte um Hilfe, wie ich da weiter vorgehen kann!
LG Yabee
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo yabee,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich versuche nun schon sehr lange, auf eine Lösung zu
> kommen, allerdings bleibt mir immer [mm]\wurzel{1-Cos^2(s)}[/mm]
> (weil ich das Sin(s) wegbekommen möchte) oder, wenn ich es
> ein wenig anders rechne, [mm]Sin^3(s)[/mm] über. Die Lösung sollte
> ja laut Wikipedia [mm]16Cos^5(s)-20Cos^3(s)+5Cos(s)[/mm] sein ...
> Bitte um Hilfe, wie ich da weiter vorgehen kann!
Dazu ist es sinnvoll zu wissen,
welche Rechenschritte Du bisher unternommen hast.
>
> LG Yabee
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:14 Sa 28.11.2009 | | Autor: | yabee |
Meine bisherigen Rechenschritte habe ich (gerade) als Anhang hochgeladen!
Danke für die bisherigen Antworten, leider kann ich aber mit dieser Euler'schen Identität nichts anfangen ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 Sa 28.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Wenn du die eulersche Identität benutzt, erhälst du [mm] $$\cos(nx)+i\sin(nx)=e^{inx}=(e^{ix})^n=(\cos(x)+i\sin(x))^n$$ [/mm] Jetzt nimmst den Binomischen Satz und durch Vergleich von Real und Imaginärteil erhälst du eine Identität für [mm] $\cos(nx)$.
[/mm]
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:39 Sa 28.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Ok um das nochmal ein bischen klarer zu machen. Die Eulersche Identität ist [mm] $e^{ix}=cos(x)+i\sin(x)$ [/mm] und gilt für alle [mm]x\in\IR[/mm]. Deshalb gilt die Formel die ich oben geschrieben habe. So nun heißt das konkret für [mm]n=5[/mm]: [mm] $$\cos(5x)+i\sin(5x)=\cos(x)+i\sin(x))^5=\sum_{k=0}^5\vektor{5\\k}(\cos^{n-k}(x)i^k\sin^k(x)=cos^5(x)+5i\cos^4(x)\sin(x)-10\cos^3(x)\sin^2(x)-10i\cos^2(x)\sin^3(x)+5\cos(x)\sin^4(x)+i\sin^5(x)$$ [/mm] Nun schaut man sich in diesem Fall den Realteil an und erhält [mm] $$\cos(5x)=\cos^5(x)-10\cos^3(x)\sin^2(x)+5\cos(x)\sin^4(x)$$ [/mm] Jetzt kann man die [mm] $\sin^2(x)$ [/mm] noch durch [mm] $1-\cos^2(x)$ [/mm] ersetzen und kommt dann wahrscheinlich auf das Wikipedia-Ergebnis. Übrigens: Wenn man direkt die Additionstheoreme nimmt um das auszurechnen, dann benutzt man indirekt auch die Eulersche Identität, nur wesentlich umständlicher.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 Sa 28.11.2009 | | Autor: | yabee |
Danke für deine Antwort! Die Euler'sche Identität habe ich bisher nicht gekannt ...
Könnte mir bitte auch noch jemand sagen, was in meinem Beispiel (Upload) konkret der Fehler ist? Weil ich habe die Additionstheoreme verwendet und das sollte mit denen ja funktionieren, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:07 So 29.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
gleich die erste Formel die du benutzt
cos(2s+2s+s)= .. ist falsch.
du tust so als ob das theorm für cos(a+b) irgendwie direkt auf cos(a+b+c) analog übertragen werden kann.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 So 29.11.2009 | | Autor: | yabee |
Danke vielmals für deine "Analyse"! Hat mir SEHR geholfen.
Zwar waren die Terme wirklich sehr lang, aber immerhin kommt jetzt die Wikipedia-Lösung heraus ...
Jetzt weiß ich auch, was gemeint war mit: "... dann benutzt man indirekt auch die Eulersche Identität, nur wesentlich umständlicher." 
LG Yabee
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