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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Fr 20.05.2011 | | Autor: | emulb |
| Aufgabe | Bestimme mit Hilfe des Chinesischen Restsatzes die Anzahl der Nullstellen des Polynoms
P(x) = [mm] 7x^{3}+5x²+3x
[/mm]
über dem Ring [mm] \IZ [/mm] / 210 [mm] \IZ. [/mm] Die Lösungen brauchen nicht explizit angegeben werden.
Hinweis: Berechne dazu zunächst die Anzahl der Nullstellen von P(x) über den Ringen [mm] \IZ [/mm] / p [mm] \IZ [/mm] für die Primzahlen p|210. |
Mein Lösungsvorschlag:
210 = 2*3*5*7
Nullstellen in [mm] \IZ [/mm] / 2 [mm] \IZ [/mm] : Nur die Null,
denn modulo 2 gibt es nur die Werte 0 mod 2 und 1 mod 2, für 0 mod 2 ist P (o) = 0, für 1 mod 2 ist P(1)=3+5+7 = 15 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 2, also ist P(x)= 0 nur für x [mm] \equiv [/mm] 0 mod 2 möglich.
Nullstellen in [mm] \IZ [/mm] / 3 [mm] \IZ [/mm] : { o mod 3,1 mod 3},
denn der dritte mögliche Wert ist 2 mod 3 mit P(2)= 3*2+5*4+7*8 = 82 [mm] \not= [/mm] 1 mod 3.
Nullstellen in [mm] \IZ [/mm] / 5 [mm] \IZ [/mm] : {0 mod 5, 1mod 5, 4 mod 5},
denn es gilt P(1)=15 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 5,
P(2)=82 [mm] \not\equiv [/mm] o mod 5,
P(3)=243 [mm] \not\\equiv [/mm] o mod 5 und
P(5)=540 [mm] \equiv [/mm] o mod 5.
Nullstellen in [mm] \IZ [/mm] / [mm] 7\IZ [/mm] : {o mod 7, 5 mod 7 } (ebenso)
Insgesamt hat damit P(x) in [mm] \IZ [/mm] / 210 [mm] \IZ [/mm] genau 1*2*3*2 = 12 Lösungen.
Reicht das aus??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:03 Fr 20.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Bestimme mit Hilfe des Chinesischen Restsatzes die Anzahl
> der Nullstellen des Polynoms
>
> P(x) = [mm]7x^{3}+5x²+3x[/mm]
>
> über dem Ring [mm]\IZ[/mm] / 210 [mm]\IZ.[/mm] Die Lösungen brauchen nicht
> explizit angegeben werden.
>
> Hinweis: Berechne dazu zunächst die Anzahl der Nullstellen
> von P(x) über den Ringen [mm]\IZ[/mm] / p [mm]\IZ[/mm] für die Primzahlen
> p|210.
> Mein Lösungsvorschlag:
>
> 210 = 2*3*5*7
>
> Nullstellen in [mm]\IZ[/mm] / 2 [mm]\IZ[/mm] : Nur die Null,
> denn modulo 2 gibt es nur die Werte 0 mod 2 und 1 mod 2,
> für 0 mod 2 ist P (o) = 0, für 1 mod 2 ist P(1)=3+5+7 =
> 15 [mm]\equiv[/mm] 1 mod 2, also ist P(x)= 0 nur für x [mm]\equiv[/mm] 0 mod
> 2 möglich.
>
> Nullstellen in [mm]\IZ[/mm] / 3 [mm]\IZ[/mm] : { o mod 3,1 mod 3},
> denn der dritte mögliche Wert ist 2 mod 3 mit P(2)=
> 3*2+5*4+7*8 = 82 [mm]\not=[/mm] 1 mod 3.
>
> Nullstellen in [mm]\IZ[/mm] / 5 [mm]\IZ[/mm] : {0 mod 5, 1mod 5, 4 mod 5},
> denn es gilt P(1)=15 [mm]\equiv[/mm] 0 mod 5,
> P(2)=82 [mm]\not\equiv[/mm] o mod 5,
> P(3)=243 [mm]\not\equiv[/mm] o mod 5 und
> P(5)=540 [mm]\equiv[/mm] o mod 5.
>
> Nullstellen in [mm]\IZ[/mm] / [mm]7\IZ[/mm] : {o mod 7, 5 mod 7 } (ebenso)
Du solltest aufpassen, dass du nicht o und 0 verwechselst.
> Insgesamt hat damit P(x) in [mm]\IZ[/mm] / 210 [mm]\IZ[/mm] genau 1*2*3*2 =
> 12 Lösungen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Reicht das aus??
Ja.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 Fr 20.05.2011 | | Autor: | emulb |
danke ja hab ich gerade gemerkt aber musste halt schnell tippen :)
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