char. Polynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 So 02.05.2010 | | Autor: | kiwibox |
Hallo,
ich soll das charakterische Polynom und dessen Faktorisierung ausrechnen. Allerdings habe ich einige Schwierigkeiten dabei.
Um das char. Polynom auszurechnen, nehme ich dir Formel: [mm] det(x\cdot I_{n}-A)
[/mm]
A= [mm] \pmat{1 & -3 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ -2 & 4 & -2 & 3 \\ -2 & -2 & -1 & -2}
[/mm]
[mm] \vmat{ x- 1 & 3 & -1 & 2 \\ -2 & x-1 & -1 & -1 \\ 2 & -4 & x+2 & -3 \\ 2 & 2 & 1 & x+2} [/mm] = [mm] \vmat{ X- 1 & 3 & -1 & 2 \\ -2 & x-1 & -1 & -1 \\ 0 & x-5 & x+1 & -4 \\ 0 & x+1 & 0 & x+1} [/mm]
= (x-1) [mm] \cdot \vmat{ x-1 & -1 & -1 \\ x-5 & x+1 & -4 \\ x+1 & 0 & x+1} [/mm] - (-2) [mm] \cdot \vmat{ 3 & -1 & 2 \\ x-5 & x+1 & -4 \\ x+1 & 0 & x+1} [/mm]
= (x-1) [mm] \cdot [/mm] [(x-1)(x+1)(x+1)+(-1)(-4)(x+1)+(-1)(x-5)(0)-(-1)(x-5)(x+1)-(x-1)(-4)(0)-(-1)(x+1)(x+1)]
+2 [mm] \cdot [/mm] [(3)(x+1)(x+1)+(-1)(-4)(x+1)+(2)(x-5)(0)-(-1)(x-5)(x+1)-(3)(-4)(0)-(2)(x+1)(x+1)]
[mm] =(x-1)[(x-1)(x^2+2x+1)+4x+4+0+x^2+x-5x-5+0+x^2+2x+1)] [/mm]
[mm] +2[3x^2+6x+3+4x+4+0+x^2+x-5x-5+0-2x^2-4x-2]
[/mm]
[mm] =(x-1)[x^3+2x^2+1x-x^2-2x-1+4x+4+x^2+x-5x-5+x^2+2x+1)] [/mm]
[mm] +2[2x^2-2x]
[/mm]
[mm] =(x-1)[x^3+3x^2+1x-1)] +2[2x^2-2x] [/mm]
= [mm] x^4+3x^3+x^2-x-x^3-3x^2-x+1+4x^2-4x
[/mm]
= [mm] x^4+2x^3+2x^2-2x+1
[/mm]
allerdings geht bei mir die Gleichung nicht auf. Irgendwas stimmt da nicht.
Gibt es vielleicht einfachere Wege um das char. Polynom zuberechnen???
Kann einer mal drüber schauen, wo sich vielleicht mein Rechnenfehler eingeschlichen hat? Das wäre echt super.
lg kiwibox
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 So 02.05.2010 | | Autor: | dormant |
Hi!
Das ist ja unmesnchlich, was du da tun musst. Ich würde veruschen die Matrix auf eine Diagonalform zu bringen, oder was anderes schlaues.
Matlab sagt, dass die Eigenwerte +-3i und -1 mit doppelter Vielfachheit sind.
Grüße,
dormant
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:19 So 02.05.2010 | | Autor: | kiwibox |
ich habe das nomal nachgerechnet, das char. Polynom ist: [mm] h_{\phi}(x)=x^4+2x^3+2x^2+1=(x+1)^2(x^2+1), [/mm] also komme ich auch auf die bereits genannten Eigenwerte. allerdings ist v= [mm] \IQ^4, \phi \in [/mm] End(V) und dargestellt durch die Darstellungsmatrix bzgl der Standardmatrix S.
nun soll ich zu jedem Primärfaktor [mm] p_{i}^{e_i} [/mm] von [mm] h_{\phi}, [/mm] dabei setzt sich [mm] h_{\phi}=p_{1}^{e_i} \cdots p_r{e_r} [/mm] zusammen, den Unterraum [mm] V_{i}=Kern(p_{i}^{e_{i}}(\phi)) [/mm] berechnen.
Mein Ansatz dazu ist jetzt:
[mm] h_{\phi}=(x+1)(x+1)(x^2+1)
[/mm]
[mm] Kern(p_{i}^{e_{i}}(\phi)) \gdw det(p_{i}^{e_{i}}(\phi))=0
[/mm]
aber wie berechne ich nun [mm] p_{i}^{e_{i}}(\phi) [/mm] aus?
[mm] (x+1)(\phi)=? [/mm] ich habe keine Ahnung und stehe auf dem Schlauch. Was muss ich nun tun um an [mm] (x+1)(\phi) [/mm] zu gelangen? Setze ich das in die Darstellungsmatrix irgendwie ein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 04.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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