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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:35 Do 21.10.2004 | | Autor: | Jan_Z |
gegeben ist die Menge [mm] C=\{x\in\IR; x= \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{a_{n}}{3^{n}}, a_{n}\in\{0,2\}\}
[/mm]
außerdem ist die fkt. [mm] \phi: C\to\IR [/mm] def. durch [mm] \phi(x)= \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{a_{n}}{2^{n+1}}.
[/mm]
1) zeige dass [mm] \phi [/mm] monoton ist (hab ich)
2) zeige dass [mm] \phi [/mm] eine stetige fortsetzung [mm] \overline{\phi} [/mm] : [mm] [0,1]\to\IR [/mm] besitzt.
Bei 2) kann ich mir schon vorstellen, wie die fortsetzung aussieht: ich überbrücke die lücken mit einer konstanten fortsetzung, denn zwei punkte, zwischen denen kein Wert aus C liegt (also nur die Lücke) haben den gleichen funktionswert. aber wie zeige ich die stetigkeit in den punkten, die in C liegen? Wär nett, wenn mir jemand helfen könnte, es ist dringend
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Jan!
Es steht ja nirgendswo geschrieben, dass du die stetige Fortsetzung explizit angeben sollst (das wird auch schwierig, denn man müsste sie mit Hilfe von Grenzwerten äquivalenter Cauchyfolgen "konstruieren"). Du sollst du nur zeigen, dass eine solche stetige Fortsetzung existiert.
Dazu verwendest du am Besten den folgenden
Satz über die stetige Fortsetzbarkeit gleichmäßig stetiger Funktionen
Es sei [mm] $\blue{X \subset Y \subset \IR}$, $\blue{X}$ [/mm] sei dicht in [mm] $\blue{Y}$ [/mm] und [mm] $\blue{f : X \to \IR}$ [/mm] sei gleichmäßig stetig. Dann existiert genau eine stetige Fortsetzung [mm] $\blue{\bar{f}}$ [/mm] von [mm] $\blue{f}$ [/mm] auf [mm] $\blue{Y}$.
[/mm]
Bei dir ist [mm] $Y=\IR$. [/mm] Damit musst du also "nur" zeigen:
Für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gibt es ein [mm] $\delta>0$, [/mm] so dass für alle $x,y [mm] \in [/mm] C$ mit $|x-y| < [mm] \delta$ [/mm] gilt:
[mm] $\vert \phi(x) [/mm] - [mm] \phi(y) \vert [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Dann bist du fertig.
Und das zu zeigen ist hier nicht schwierig. Die Monotonie und die einfache Struktur der Abbildung hilft einem entscheidend weiter. Man könnte sich zu vorgegebenem [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ ja einfach mal ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $\frac{1}{2^{n_0+1}} [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
wählen (und sich dann überlegen, wie man [mm] $\delta [/mm] > 0$ zu wählen hat).
Versuche es bitte mal und melde dich mit einem Lösungsvorschlag (falls es nicht schon zu spät ist, denn die Fälligkeit ist ja bereits abgelaufen).
Liebe Grüße
Stefan
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