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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 So 28.10.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
hätte ne frage zu den folgenden 2 beispielen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
zu 5.
wie mach ich das da ich ja in einem stall max. 5 pferde haben darf, hätte ich ja [mm] \vektor{16 \\ 5} [/mm] möglichkeiten oder? nur wie begrenze ich das dann?
zu 4.
ich habe ja 16 x, und -1/+1 wäre das dann nicht [mm] \vektor{16 \\ 2} [/mm] ?
danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 So 28.10.2007 | | Autor: | koepper |
> hallo!
> hätte ne frage zu den folgenden 2 beispielen:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> zu 5.
>
> wie mach ich das da ich ja in einem stall max. 5 pferde
> haben darf, hätte ich ja [mm]\vektor{16 \\ 5}[/mm] möglichkeiten
> oder? nur wie begrenze ich das dann?
Wir gehen davon aus, daß die Pferde nicht unterscheidbar sind (in der Aufgabe steht nichts davon, also wäre das noch zu klären)
Von den 17 Pferden darfst du zunächst je 1 fest auf jeden Stall verteilen.
Wäre jetzt keine Maximalbelegung vorgegeben könntest du "Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der reihenfolge".
Aber so bleibt dir wohl nur eine schlichte schriftliche Aufzählung.
Daß es hier ein Standardverfahren gibt halte ich für recht unwahrscheinlich, aber wenn du eine geniale (d.h. einfache) Lösung findest, bin ich sehr interessiert.
> zu 4.
>
> ich habe ja 16 x, und -1/+1 wäre das dann nicht [mm]\vektor{16 \\ 2}[/mm]
nein, um die Gleichung zu lösen brauchst du 8 Einsen und 8 -1en. Die Anzahl der Möglichkeiten, aus den 16 Positionen 8 Einsen auszusuchen ist die Anzahl der Mögl. hier insgesamt.
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Dagobert |
zu4.
also hab ich dann [mm] \vektor{16 \\ 8} [/mm] Möglichkeiten? (=12870)
danke!
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Hi, Dagobert,
> zu4.
>
> also hab ich dann [mm]\vektor{16 \\ 8}[/mm] Möglichkeiten? (=12870)
Richtig!
mfG!
Zwerglein
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> hallo!
> hätte ne frage zu den folgenden 2 beispielen:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> zu 5.
>
> wie mach ich das da ich ja in einem stall max. 5 pferde
> haben darf, hätte ich ja [mm]\vektor{16 \\ 5}[/mm] möglichkeiten
> oder? nur wie begrenze ich das dann?
Hier könnte man von allen zulässigen Stallbelegungen zunächst einmal nur die "absteigend sortierten" aufzählen und dann mit Hilfe einer separaten kombinatorischen Rechnung bestimmen, auf wieviele Arten dieser Typ von Stallbelegung im allgemeinen, in der Regel nicht absteigend sortierten Fall effektiv auftreten kann.
Eine solche Liste von zulässigen absteigend sortierten Stallbelegungen könnte etwa so aussehen:
[mm]\begin{array}{cccccl}
\text{Stall 1} & \text{Stall 2} & \text{Stall 3} & \text{Stall 4} & \text{Stall 5} & \text{Fälle dieses Typs}\\
5 & 5 & 5 & 1 & 1 & \binom{5}{3}\\
5 & 5 & 4 & 2 & 1 & \binom{5}{2}\cdot 3\cdot2\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots
\end{array}[/mm]
Ich bin auf 10 verschiedene sortierte Fälle gekommen (ohne Gewähr): diese Tabelle ist also zwar länglich - aber immerhin nicht endlos 
Am Ende zählt man einfach die Werte in der letzten Spalte dieser Tabelle zusammen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
danke, dann werd ich so eine tabelle mal anfangen, nur eine frage hätte ich noch, wie kommst du in der 2. zeile auf *3*2 ? ist das einfach die drei ställe die keine 5 pferde haben?
ich hätte die tabelle mal gemacht, bei 10 verschiedene möglichkeiten komme ich auf 730. aber da ich ja die ställe auch noch mal vertauschen kann müsste das ja dann 3650 sein oder?
danke!
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> hallo!
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> danke, dann werd ich so eine tabelle mal anfangen, nur eine
> frage hätte ich noch, wie kommst du in der 2. zeile auf
> *3*2 ? ist das einfach die drei ställe die keine 5 pferde
> haben?
Man muss einfach zählen, wieviele verschiedene Stallbelegungen es gibt, bei denen zwei Ställe 5 und je ein Stall 4, 2, bzw. 1 Pferd enthält. Diese Zählung kann man rein formal auf verschiedene Arten machen. So gibt es z.B. [mm] $\binom{5}{2}$ [/mm] Möglichkeiten, die beiden Ställe mit $5$ Pferden aus den insgesamt 5 Ställen auszuwählen.
Unabhängig davon kann man die restlichen 3 Ställe auf $3!$ Arten, bzw. was auf dasselbe hinausläuft, auf [mm] $\binom{3}{1}\cdot\binom{2}{1}\cdot \binom{1}{1}$ [/mm] Arten belegen.
Eine andere Möglichkeit der Zählung ist, aus den insgesamt $5!$ Permutationen einer konkreten Belegung Duplikate (d.h. Ställe mit derselben Anzahl Pferde) durch Division zu eliminieren: [mm] $\frac{5!}{2!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!}$ [/mm] oder, kürzer, [mm] $\frac{5!}{2!}$.
[/mm]
>
> ich hätte die tabelle mal gemacht, bei 10 verschiedene
> möglichkeiten komme ich auf 730. aber da ich ja die ställe
> auch noch mal vertauschen kann müsste das ja dann 3650 sein
> oder?
Ich versuche mal die fragliche Tabelle ganz hinzuschreiben:
[mm]\begin{array}{ccccclcr} \text{Stall 1} & \text{Stall 2} & \text{Stall 3} & \text{Stall 4} & \text{Stall 5} & \multicolumn{3}{c}{\text{Fälle dieses Typs}}\\
5 & 5 & 5 & 1 & 1 & \frac{5!}{3!\cdot 2!} &=& 10\\[.2cm]
5 & 5 & 4 & 2 & 1 & \frac{5!}{2!} &=& 60\\[.2cm]
5 & 5 & 3 & 3 & 1 & \frac{5!}{2!\cdot 2!} &=& 30\\[.2cm]
5 & 5 & 3 & 2 & 2 & \frac{5!}{2!\cdot 2!} &=& 30\\[.2cm]
5 & 4 & 4 & 3 & 1 & \frac{5!}{2!} &=& 60\\[.2cm]
5 & 4 & 4 & 2 & 2 & \frac{5!}{2!\cdot 2!} &=& 30\\[.2cm]
5 & 4 & 3 & 3 & 2 & \frac{5!}{3!} &=& 20\\[.2cm]
5 & 3 & 3 & 3 & 3 & \frac{5!}{4!} &=& 5\\[.2cm]
4 & 4 & 4 & 3 & 2 & \frac{5!}{3!} &=& 20\\[.2cm]
4 & 4 & 3 & 3 & 3 & \frac{5!}{2!\cdot 3!} &=& 10\\[.2cm]\cline{8-8}
\multicolumn{6}{r}{\text{Total (bei Unterscheidbarkeit der fünf Ställe):}} & & 275
\end{array}[/mm]
In dieser Tabelle werden die Ställe bereits als unterscheidbar angenommen: aus diesem Grund müssen wir ja z.B. den ersten in dieser Tabelle aufgeführten Fall einer Belegung von genau drei der Ställe mit 5 und zwei Ställen mit 1 Pferd als insgesamt [mm] $\frac{5!}{3!\cdot 2!}=10$ [/mm] unterscheidbare Stallbelegungen zählen.
Wären die Ställe nicht unterscheidbar, so hätten wir effektiv nur eine einzige (unterscheidbare) Stallbelegung dieses Typs: also insgesamt nur 10 Stallbelegungen (= Anzahl Zeilen der obigen Tabelle) insgesamt.
Ob die obige Tabelle tatsächlich vollständig und richtig ausgerechnet ist, kannst Du selbst prüfen: mein Lösungsvorschlag wie immer ohne Gewähr.
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