bolzano weierstraß < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Mo 16.03.2009 | | Autor: | AriR |
hey leute
ich gucke mir gerade den beweis des satzes von bolzano weierstraß an und hab da folgende frage:
angenommen wir haben eine folge [mm] a_n [/mm] bei der die folgenglieder wirklich vollkommen zufällig verteilt sind (und absolut keine regelmäßigkeit vorhanden ist). wäre dann jeder punkt ein häufungspunkt der folge [mm] a_n?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:32 Mo 16.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Bei einer beschränkten Folge (und um eine solche handelt es sich beim Satz von Bolzano - Weierstraß) ganz gewiß nicht, denn die Menge der Häufungspunkte eine beschränkten Folge ist beschränkt.
Beispiel: die Menge $ [mm] [0,1]\cap \IQ$ [/mm] ist abzählbar, also gibt es eine Folge [mm] (r_n) [/mm] mit:
{ [mm] r_n: [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] } = $ [mm] [0,1]\cap \IQ$ [/mm]
Dann ist die Menge der Häufungspunkte von [mm] (r_n) [/mm] = [0,1]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Mo 16.03.2009 | | Autor: | AriR |
ich hab mich glaub ich etwas unglücklich ausgedrückt... angenommen die folge liegt im intervall [a,b] und ist somit durch a,b beschränkt und die wahrscheinlichkeit, dass ein folgeglied eines der punkt in [a,b] annimmt, ist für jeden punkt aus dem intervall gleich. wäre dann nicht jeder punkt ein häufungspunkt, weil jeder unendlich oft vorkommt und das immer und immer wieder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:46 Mo 16.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Das verstehe wer will .....
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Mo 16.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> ich hab mich glaub ich etwas unglücklich ausgedrückt...
> angenommen die folge liegt im intervall [a,b] und ist somit
> durch a,b beschränkt und die wahrscheinlichkeit, dass ein
> folgeglied eines der punkt in [a,b] annimmt, ist für jeden
> punkt aus dem intervall gleich.
Hier stellt sich schonmal die Frage, was heißt Wahrscheinlichkeit? Ich verstehe schon was du meinst, aber es ist schwierig das mathematisch exakt zu fassen. Wie groß ist denn z.B. die Wahrscheinlichkeit, dass wenn ich "zufällig" eine Zahl aus [0,1] wähle, genau 1/2 herauskommt? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dass eine Zufallsfolge aus [0,1] z.B. konstant 1/2 ist?
> wäre dann nicht jeder punkt
> ein häufungspunkt, weil jeder unendlich oft vorkommt und
> das immer und immer wieder?
Das garantiert nicht, denn die Folge erwischt ja nur abzählbar viele Punkte, aber [a,b] ist überabzählbar. Wie Fred bereits erewähnt hat, kann die Menge der Häufungspunkte durchaus sehr viel größer als die Menge der Folgenglieder sein - die bleibt (höchsens) abzählbar, da kann man sich auf den Kopf stellen und mit dem Arsch wackeln.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:16 Mo 16.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> da kann man
> sich auf den Kopf stellen und mit dem Arsch wackeln.
>
> Gruß, Robert
Gute Idee !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Mo 16.03.2009 | | Autor: | AriR |
das problem war eingetlich folgendes: angenommen man teilt die menge [mm] {a_n |n\in\IN} [/mm] wie in dem beweis vom satz von bolzano... immer in 2 intervalle guckt wo unendlich viele pkt liegen, nimmt das als neues intervall, teilt dies wieder auf usw usw
was passiert dann, wenn in jedem "teilungsschritt" der menge in beiden hälten unendlich viele punkte liege und das jedes mal??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Mo 16.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Nichts. Dann wählst Du irgendeine Hälfte
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Mo 16.03.2009 | | Autor: | AriR |
ja klar.. dann hab ich den beweis für die reine existenz, aber mit hilfe des beweises kann man mit etwas mühe die punkte auch etwas näher bestimmen, als nur deren existenz zu zeigen oder sehe ich das falsch? :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Mo 16.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Das siehst Du falsch. Mit der Methode der Intervallhalbierung kannst Du nur die Existenz eines Häufungspunktes nachweisen !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mo 16.03.2009 | | Autor: | AriR |
aber die intervalle konvergieren doch gegen einen punkt der (glaub ich) ein häufungspunkt sein müsste. falls die "intervallhälften" im beweis beide unendlich viele punkte enthalten, würden somit auch mehrere punkte in frage kommen, gegen die die intervalle (laut konstruktion) konvergieren könnten und diese müssten doch alle häufungspunkte sein oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Mo 16.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> aber die intervalle konvergieren doch gegen einen punkt der
> (glaub ich) ein häufungspunkt sein müsste. falls die
> "intervallhälften" im beweis beide unendlich viele punkte
> enthalten, würden somit auch mehrere punkte in frage
> kommen, gegen die die intervalle (laut konstruktion)
> konvergieren könnten und diese müssten doch alle
> häufungspunkte sein oder?
wenn ich Dich richtig verstehe, übersiehst Du hier einfach eine Sache, die bei dem Prinzip der Intervallschachtelung bedeutend ist:
Es ist dabei zu beachten, dass es bei einer Intervallschachtelung stets wichtig ist, dass die Länge der betrachteten Intervalle dann gegen [mm] $0\,$ [/mm] strebt (Intervalllänge = rechter Intervallrandpunkt - linker Randpunkt), z.B. steht bei ![[]](/images/popup.gif) Wiki: Intervallschachtelung:
"...und bilden die Differenzen [mm] $d_n [/mm] = [mm] b_n [/mm] - [mm] a_n$ [/mm] eine Nullfolge, ..."
Ich weiß übrigens auch gerade nicht, wie ihr Bolzano-Weierstraß bewiesen habt. Aber wenn man das ganze etwas 'konkreter' sehen will, dann kann man durchaus mit [mm] $\limsup$ [/mm] bzw. [mm] $\liminf$ [/mm] argumentieren. Damit bekommt man den Bolzano-Weierstraß in [mm] $\IR$ [/mm] bewiesen, und das läßt sich (induktiv) auf den [mm] $\IR^n$ [/mm] (bzw. damit auch [mm] $\IC^n$) [/mm] 'hochziehen'.
Vergleiche dazu etwa Satz 5.24 und Satz 8.20 aus diesem Skript der Analysis.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:08 Di 17.03.2009 | | Autor: | AriR |
jetzt weiß ich was mein deutschlehrer früher immer meinte mit "du musst deine ausdrucksweise verbessern, das versteht niemand":D:D:D
ich versuche noch einmal und hoffe ich gehe euch schon nicht langsam aufen zeiger :)
also angenommen wir haben die menge der folgenwerte und teilen sie das erste mal in zwei hälften. dann arbeiten wir mit der hälfte weiter, die unendlich viele punkte enthält. angenommen beide hälften enthalten unendlich viele punkte. dann suche ich mir eine aus (hab somit zwei möglichkeiten) und arbeite dann halt mit dieser hälfte weiter. angenommen ich bin am "ende" der intervallschachtelung angekommen und hab jetzt den punkt P, der in allen intervallen enthalten ist. das wird dann wohl ein häufungspunkt sein(die aussage des satzer wäre somit hier bewiesen und ich wäre fertig, aber angenommen man will mit dem beweisverfahren weiter häufungspunkte bestimmen:). HÄTTE ICH ABER GANZ AM ANFANG BEI DER ERSTEN TEILUNG IN ZWEI (UNENDLICHE) HÄLFTEN die ANDERE hälfte gewählt, dann wäre meine intervallschachtelung wieder gegen ein punkt konvergiert der ungleich P ist aber wieder ein häufungspunkt sein müsste.
und nun kann es ja sein, dass in den iterationsschritten mehrere solcher teilungen in 2 unendliche hälften existieren und ich somit mit dem verfahren viele (ich glaub sogar alle???) häufungspunkte der folge bestimmen kann.
hab ich es diesmal etwas besser formuliert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:33 Di 17.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Ich weiß zwar nicht genau, was jetzt deine Frage ist, aber was du schreibst, ist im Prinzip vollkommen richtig. Schwierig wirds natürlich mit dem "am Ende" der Intervallschachtelung - das gibts natürlich nicht. Theoretisch kann man man mit dem Verfahren jeden Häufungspunkt erwischen und eine Folge, die in jedem Intervall unendlich viele Punkte hat, hat natürlich jeden Punkt als Häufungspunkt.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:59 Di 17.03.2009 | | Autor: | AriR |
genau das beantwortet meine frage :)
dankeschön
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Mo 16.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Es gibt einen sehr schönen und einfachen Beweis für den Bolzano -Weierstraß.
Sei [mm] (a_n) [/mm] eine beschränkte Folge. Eine Zahl m [mm] \in \IN [/mm] heißt niedrig für [mm] (a_n), [/mm] wenn
[mm] a_m \le a_n [/mm] für n [mm] \ge [/mm] m
Man überzeuge sich von Folgendem:
hat [mm] (a_n) [/mm] höchstens endlich viele niedrige Indices, so enthält [mm] (a_n) [/mm] eine monotone und damit auch konvergente Teilfolge.
Das gleiche trifft zu, wenn [mm] (a_n) [/mm] unendlich viele niedrige Indices hat.
FRED
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