binomischer lehrsatz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 So 09.05.2010 | | Autor: | Esra |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n} [/mm] = 1 |
ich soll das über den binomischen lehrsatz beweisen. Bitte um vorschläge
mfg Esra
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Hallo Esra,
> Zeigen Sie: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n}[/mm] = 1
> ich soll das über den binomischen lehrsatz beweisen.
> Bitte um vorschläge
Bitte um eigene Ansätze...
Zumindest Gedanken wirst du dir ja hoffentlich gemacht haben ...
Äquivalent zu der Aussage ist die Aussage: [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt[n]{n}-1\right)=0$
[/mm]
Definiere [mm] $x_n:=\sqrt[n]{n}-1$
[/mm]
Dann ist [mm] $n=(1+x_n)^n$
[/mm]
Nun benutze den binomischen Lehrsatz und mache glaubhaft, dass [mm] $(1+x_n)^n\ge \frac{n(n-1)}{2}x_n^2$
[/mm]
Bringt dich das auf den rechten Weg?
>
> mfg Esra
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 So 09.05.2010 | | Autor: | Esra |
das hilft mir weiter jedoch komme ich bei dem binomischen lehrsatz nicht weiter...
und, wie kommen sie auf $ [mm] n=(1+x_n)^n [/mm] $ und damit auf $ [mm] (1+x_n)^n\ge \frac{n(n-1)}{2}x_n^2 [/mm] $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 So 09.05.2010 | | Autor: | abakus |
> das hilft mir weiter jedoch komme ich bei dem binomischen
> lehrsatz nicht weiter...
>
> und, wie kommen sie auf [mm]n=(1+x_n)^n[/mm] und damit auf
Er hat [mm] x_n=\wurzel[n]{n}-1 [/mm] umgeformt. Die erste Operation war eine Addition, dann wurde "hoch n" potenziert.
> [mm](1+x_n)^n\ge \frac{n(n-1)}{2}x_n^2[/mm]
Dazu musst du jetzt [mm] (1+x_n)^n [/mm] mal mit dem Binomischen Satz ausmultiplizieren. Wenigstens die ersten zwei Summanden solltest du hinbekommen.
Gruß Abakus
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