biholomorphe Funktionen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Finde alle biholomorphen Funktionen C-> C |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Kann mir vl jemand bei diesen Beispiel helfen? Wie fange ich hier an? biholomorph heißt ja holomorph und bijektiv
jetzt könnt ich ja z.b. sagen dass [mm] x^2 [/mm] nicht biholomorph ist jedoch [mm] x^2 [/mm] + x schon...
aber ich muss ja wirklich ALLE finden.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:19 Mi 19.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Finde alle biholomorphen Funktionen C-> C
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo!
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> Kann mir vl jemand bei diesen Beispiel helfen? Wie fange
> ich hier an? biholomorph heißt ja holomorph und bijektiv
Genau.
> jetzt könnt ich ja z.b. sagen dass [mm]x^2[/mm] nicht biholomorph
> ist jedoch [mm]x^2[/mm] + x schon...
Na, das wuerd mich aber wundern. Allein schon als Funktion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] ist $x [mm] \mapsto x^2 [/mm] + x$ weder injektiv noch surjektiv (es ist doch eine Parabel!). Insbesondere ist es als Funktion [mm] $\IC \to \IC$ [/mm] ebenfalls nicht injektiv.
Schau dir die Funktion $g : [mm] \IC \setminus \{ 0 \} \to \IC$, [/mm] $z [mm] \mapsto [/mm] f(1/z)$ an. Es gibt zwei Moeglichkeiten:
a) $g$ hat in $0$ einen Pol. Dann ist $f$ ein Polynom (warum?). Was folgt daraus?
b) $g$ hat in $0$ eine wesentliche Singularitaet. Benutze dann den grossen Satz von Picard. (Soweit bekannt.) Was folgt daraus?
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:21 Mi 19.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Hallo mathefreak, hallo Felix,
Felix muß ich leider widersprechen: ist g so, wie Felix diese Funktion def. hat, so hat g in 0 keine wesentliche Singularität ! Vielleicht hat Felix auch gemeint, dass man "g hat in 0 eine wesentliche Sing." zum Widerspruch führen soll. Der "große Picard" ist schon ein mächtiges Geschütz ! Es genügt der Satz von Casorati- Weierstraß:
Annahme , g hat in 0 eine wesentliche Sing.
Sei U:= { z [mm] \in \IC: [/mm] 0<|z|<1 } und G:= [mm] \IC [/mm] \ U. Mit f ist auch g injektiv, also ist
(*) g(G) [mm] \cup [/mm] g(U)= [mm] \emptyset.
[/mm]
Nach Casorati- Weierstraß ist
(**) [mm] \IC= \overline{g(U)}
[/mm]
Sei $w [mm] \in [/mm] g(G)$. Wegen (**) gibt es eine Folge [mm] (w_n) [/mm] in g(U) mit: [mm] w_n \to [/mm] w.
Der Satz von der Gebietstreue liefert: g(G) ist offen. Somit gibt es ein m [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] w_n \in [/mm] g(G) für n [mm] \ge [/mm] m.
Damit hat man: [mm] w_n \in [/mm] g(G) [mm] \cup [/mm] g(U) für n [mm] \ge [/mm] m. Das widerspricht aber (*)
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Bislang wissen wir: g hat in 0 einen Pol und damit ist f ein Polynom
@ mathefreak: wie gehts jetzt weiter ?
Tipps:
1. die Ableitung von f ist ebenfalls ein Polynom
2. f ist injektiv, was weiß man dann über Nullstellen von f' ?
3. Fundamentalsatz der Algebra
Gruß FRED
P.S.: ich bin mal wieder in der Situation, dass ich mich frage, was Übungsleiter und (oder) Dozenten eigentlich für Vorstellungen haben, was man Studenten als Übungsaufgabe zumuten kann. Obige Aufgabe ist für eine Übungsaufgabe viel zu schwer. Jedenfalls als Übungsaufgabe zu einer einführenden Vorlesung zur Funktionentheorie.
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Hallo!
Hab jetzt mal nach dem Fundamentalsatz der Algebra gesucht und das hier gefunden:
Der (gaußsche) Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass der Körper der komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen ist.
Das bedeutet anders ausgedrückt: Sucht man Nullstellen eines nicht konstanten Polynoms mit ganzen, reellen oder komplexen Koeffizienten, und dehnt man die Suche in den Bereich der komplexen Zahlen aus, so wird man immer fündig.
Sei
ein nicht konstantes Polynom vom Grad , , mit komplexen Koeffizienten . Dann hat das Polynom eine komplexe Nullstelle, d. h. es gibt eine Zahl , so dass P(z) = 0 gilt. Genauer gilt sogar, dass die Anzahl der Nullstellen, wenn sie mit der richtigen Vielfachheit gezählt werden, insgesamt gleich dem Grad des Polynoms ist.
Was ich aus den Nullstellen schließen soll weiß ich leider nicht. Gibt es da einen weiteren Satz?
Bezüglich der Aufgabenstellung: Wir sollen dieses Beispiel schriftlich ausarbeiten und sollen dabei Definitionen im Internet suchen und Beweise für diese Definitionen sodass wir die Lösung finden...ist also mehr eine theoretische Ausarbeitung als eine Übungsaufgabe.
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:33 Mi 19.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Hab jetzt mal nach dem Fundamentalsatz der Algebra gesucht
> und das hier gefunden:
>
> Der (gaußsche) Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass
> der Körper der komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen
> ist.
>
> Das bedeutet anders ausgedrückt: Sucht man Nullstellen
> eines nicht konstanten Polynoms mit ganzen, reellen oder
> komplexen Koeffizienten, und dehnt man die Suche in den
> Bereich der komplexen Zahlen aus, so wird man immer
> fündig.
>
> Sei
>
>
> ein nicht konstantes Polynom vom Grad , , mit komplexen
> Koeffizienten . Dann hat das Polynom eine komplexe
> Nullstelle, d. h. es gibt eine Zahl , so dass P(z) = 0
> gilt. Genauer gilt sogar, dass die Anzahl der Nullstellen,
> wenn sie mit der richtigen Vielfachheit gezählt werden,
> insgesamt gleich dem Grad des Polynoms ist.
>
>
> Was ich aus den Nullstellen schließen soll weiß ich
> leider nicht.
Ist f holomorph und injektiv, so ist f' nullstellenfrei
FRED
> Gibt es da einen weiteren Satz?
> Bezüglich der Aufgabenstellung: Wir sollen dieses
> Beispiel schriftlich ausarbeiten und sollen dabei
> Definitionen im Internet suchen und Beweise für diese
> Definitionen sodass wir die Lösung finden...ist also mehr
> eine theoretische Ausarbeitung als eine Übungsaufgabe.
>
> Lg
>
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Heißt das jetzt dass 1/z eine biholomorphe Funktion ist, weil die Funktion keine Nullstelle haben kann?
Wenn ja wie schaut das mit anderen Funktionen aus? Gibt es da noch welche? Wenn nein..muss ich das dann auch beweisen?
Lg und danke für die nette Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:00 Mi 19.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Heißt das jetzt dass 1/z eine biholomorphe Funktion ist,
> weil die Funktion keine Nullstelle haben kann?
Nein. Das hat auch nichts damit zu tun was Fred schrieb, es ist nichtmals eine Implikation in die falsche Richtung.
Du hast ein Polynom, welches eine biholomorphe Abbildung liefert. Damit ist es insbesondere injektiv, kann also hoechstens eine Nullstelle haben (ohne Vielfachheit). Was bedeutet das fuer das Polynom?
LG Felix
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Hallo!
Den Satz versteh ich nicht ganz:
Nein. Das hat auch nichts damit zu tun was Fred schrieb, es ist nichtmals eine Implikation in die falsche Richtung.
Was hat das dann mit der Funktion g(z) zu tun? dachte diese funktion ist 1/z?
Das f(z) muss jetzt ein Polynom ersten Grades sein, damit es biholomorph ist..habe ich das jetzt so richtig verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Mi 19.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Den Satz versteh ich nicht ganz:
> Nein. Das hat auch nichts damit zu tun was Fred schrieb,
> es ist nichtmals eine Implikation in die falsche Richtung.
>
> Was hat das dann mit der Funktion g(z) zu tun? dachte diese
> funktion ist 1/z?
Nein !!!! g(z)= f(1/z)
>
> Das f(z) muss jetzt ein Polynom ersten Grades sein, damit
> es biholomorph ist..
Ja. Ist Dir klar warum ?
FRED
> habe ich das jetzt so richtig
> verstanden?
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Hallo!
Ja das mit 1/z war ein Tipfehler.
Ja ich verstehe es bis auf die Tatsache warum man am Anfang annimmt dass man von C/0 auf C abbildet und die Funktion g(z) = f(1/z) einführt. Die Schritte von dort weg verstehe ich, dass man dann folgern kann, dass f ein Polynom ist.
Gibt es direkt von C-> C keine Funktion sozusagen?
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Eine Frage hätte ich noch..muss ich zeigen, dass es keine anderen geben kann? Ist x ^3 z.b. nicht biholomorph?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 Mi 19.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Eine Frage hätte ich noch..muss ich zeigen, dass es keine
> anderen geben kann? Ist x ^3 z.b. nicht biholomorph?
Jetzt pass mal auf. Wir hatten: ist f: [mm] \IC \to \IC [/mm] biholomorph, so hat f notwendigerweise die Gestalt
f(z)=az+b mit a, b [mm] \in \IC [/mm] und a [mm] \ne [/mm] 0
Umgekehrt sieht man sofort, dass Funktionen der obigen Gestalt biholomorph sind.
Fazit: für eine Funktion f: [mm] \IC \to \IC [/mm] gilt:
f ist biholomorph [mm] \gdw [/mm] es ex. a, b [mm] \in \IC [/mm] mit a [mm] \ne [/mm] 0 und f(z)=az+b.
FRED
>
> Lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:24 Mi 19.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Oki danke :)
bitti
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:58 Mi 19.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Fred,
> Felix muß ich leider widersprechen: ist g so, wie Felix
> diese Funktion def. hat, so hat g in 0 keine wesentliche
> Singularität ! Vielleicht hat Felix auch gemeint, dass man
> "g hat in 0 eine wesentliche Sing." zum Widerspruch führen
> soll. Der "große Picard" ist schon ein mächtiges
> Geschütz !
Ja, der grosse Picard liefert einen Widerspruch, darauf wollte ich hinaus :)
Natuerlich geht es auch mit Casorati-Weierstrass, wie du es skizziert hast, jedoch ist man mit dem grossen Picard sofort fertig, da dieser aussagt, dass die Funktion $g$ in jeder noch so kleinen Umgebung von 0 nicht injektiv sein kann.
> Bislang wissen wir: g hat in 0 einen Pol und damit ist f
> ein Polynom
>
> @ mathefreak: wie gehts jetzt weiter ?
>
> Tipps:
>
> 3. Fundamentalsatz der Algebra
das ist der wichtigste Tipp, denke ich 
> P.S.: ich bin mal wieder in der Situation, dass ich mich
> frage, was Übungsleiter und (oder) Dozenten eigentlich
> für Vorstellungen haben, was man Studenten als
> Übungsaufgabe zumuten kann. Obige Aufgabe ist für eine
> Übungsaufgabe viel zu schwer. Jedenfalls als
> Übungsaufgabe zu einer einführenden Vorlesung zur
> Funktionentheorie.
Ich denke es haengt davon ab, was in der Vorlesung gemacht wurde. Falls der Trick mit $g(z) = f(1/z)$ betrachten schon mehrfach verwendet wurde und etwa der grosse Satz von Picard bekannt ist (evtl. ohne Beweis), sollte es schon gehen. Wenn man jedoch nur Casorati-Weierstrass zur Verfuegung hat, ist es schon eine Ecke schwieriger.
LG Felix
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Hallo!
Den Satz von Picard hatten wir leider nicht..das ganze ist eine Bakk Vertiefungs Vorlesung im Elektrotechnik Studium, in der wir 3 Bereiche behandeln. Eines davon war eben die komplexe Analysis und jetzt haben wir diese Ausarbeitung zum machen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:32 Mi 19.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Moin Fred,
Hallo Felix,
>
> > Felix muß ich leider widersprechen: ist g so, wie Felix
> > diese Funktion def. hat, so hat g in 0 keine wesentliche
> > Singularität ! Vielleicht hat Felix auch gemeint, dass man
> > "g hat in 0 eine wesentliche Sing." zum Widerspruch führen
> > soll. Der "große Picard" ist schon ein mächtiges
> > Geschütz !
>
> Ja, der grosse Picard liefert einen Widerspruch, darauf
> wollte ich hinaus :)
Das hab ich vermutet.
gruß FRED
>
> Natuerlich geht es auch mit Casorati-Weierstrass, wie du es
> skizziert hast, jedoch ist man mit dem grossen Picard
> sofort fertig, da dieser aussagt, dass die Funktion [mm]g[/mm] in
> jeder noch so kleinen Umgebung von 0 nicht injektiv sein
> kann.
>
> > Bislang wissen wir: g hat in 0 einen Pol und damit ist f
> > ein Polynom
> >
> > @ mathefreak: wie gehts jetzt weiter ?
> >
> > Tipps:
> >
> > 3. Fundamentalsatz der Algebra
>
> das ist der wichtigste Tipp, denke ich
>
> > P.S.: ich bin mal wieder in der Situation, dass ich mich
> > frage, was Übungsleiter und (oder) Dozenten eigentlich
> > für Vorstellungen haben, was man Studenten als
> > Übungsaufgabe zumuten kann. Obige Aufgabe ist für eine
> > Übungsaufgabe viel zu schwer. Jedenfalls als
> > Übungsaufgabe zu einer einführenden Vorlesung zur
> > Funktionentheorie.
>
> Ich denke es haengt davon ab, was in der Vorlesung gemacht
> wurde. Falls der Trick mit [mm]g(z) = f(1/z)[/mm] betrachten schon
> mehrfach verwendet wurde und etwa der grosse Satz von
> Picard bekannt ist (evtl. ohne Beweis), sollte es schon
> gehen. Wenn man jedoch nur Casorati-Weierstrass zur
> Verfuegung hat, ist es schon eine Ecke schwieriger.
>
> LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Do 20.01.2011 | | Autor: | kralio |
Ich hätte nur eine kurze Frage und zwar ob es nicht anstatt eine wesentliche Singularität auszuschließen, nicht möglich wäre einen Pol nach zu weisen?
Ich denke da an [mm] \limes_{z\rightarrow 0} [/mm] |g(z)| = [mm] \infty
[/mm]
lg Krali
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 Do 20.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Krali,
> Ich hätte nur eine kurze Frage und zwar ob es nicht
> anstatt eine wesentliche Singularität auszuschließen,
> nicht möglich wäre einen Pol nach zu weisen?
>
> Ich denke da an [mm]\limes_{z\rightarrow 0}[/mm] |g(z)| = [mm]\infty[/mm]
rein theoretisch ist das natuerlich moeglich -- nur, wie willst du das anstellen?
LG Felix
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