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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:18 Fr 16.10.2009 | | Autor: | grafzahl123 |
| Aufgabe | n ungerade [mm] \gdw n^2 [/mm] ungerade
diese äquivalenz soll mithilfe von 2 verschiedenen beweisverfahren gezeigt werden. ein weg durch induktion und der andere indirekt. |
zuerst die richtung n ungerade [mm] \Rightarrow n^2 [/mm] ungerade indirekt beweisen:
ich hatte überlegt zu sagen: n gerade [mm] \Rightarrow n^2 [/mm] ungerade
als gerade habe ich 2n festgelegt. daraus folgt 2n [mm] \Rightarrow 4n^2 [/mm] . da eine 4 vor dem [mm] n^2 [/mm] steht folgt daraus, dass die zahl gerade sein muss. also ein widerspruch und somit der indirekte beweis für die zu beweisende aussage.
kann man da sso machen?
jetzt die andere richtung durch induktion:
[mm] n^2 [/mm] ungerade [mm] \Rightarrow [/mm] n ungerade
da hab ich noch garkeine idee und würde mich über einen tipp freuen.
schönen abend noch, würde mich freuen wennn mir wer helfen könnte
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt
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> n ungerade [mm]\gdw n^2[/mm] ungerade
Ich habe zwar keine Ahnung, wie ein "Beweis" auszusehen hat, damit er vor "Gericht" besteht, sehe aber folgende Möglichkeit:
n ist ungerade, wenn n=2a+1 (a ist eine natürliche Zahl)
Daraus folgt:
[mm] n^{2} [/mm] = [mm] (2a+1)^{2}
[/mm]
[mm] (2a+1)^{2} [/mm] = [mm] 4a^{2} [/mm] + 4a + 1
[mm] 4a^{2} [/mm] ist gerade (wegen Faktor 4)
4a ist gerade (wegen Faktor 4)
1 ist ungerade
Summe aus "gerade" plus "gerade" plus " ungerade" ist immer "ungerade"
Ergo ist [mm] n^{2} [/mm] ungerade.
Ob ein "Richter" dieses als "Beweis" anerkennt, das weiß ich nicht.
(Vielleicht muss man ja vorher erst noch "beweisen", dass 1 ungerade ist ...)
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wenn man 2a+1 als ungerade definiert und a eine natürliche zahl (enthält die null nicht) fangen wir ja erst bei drei an, müsste es nicht eher 2a-1 sein.
aber das hilft mir bei meiner frage ja nicht weiter.
ich wollte wissen ob der erste teil der lösung so funktioniert und wie ich mit dem induktionsbeweis verfahren soll.
wäre immer noch dankbar, wenn sich wer dazu äußern würde.
schönes wochenende noch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Fr 16.10.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast am Anfang geschrieben:
n ungerade [mm] \Righarrow n^{2} [/mm] ungerade.
Den Indirekten Beweis kann man durch Widerspruch führen, das ginge. So wie du es gemacht hast, aber nicht.
Wenn du zeigst, n gerade [mm] \Rightarrow [/mm] n² gerade kannst du aber nicht schlussfolgern, dass aus n ungerade folgt, dass n² ungerade ist.
Den indirekten Beweis hast du ja schon gezeigt bekommen.
Für die Rückrichtung [mm] n^{2} [/mm] ungerade [mm] \Rightarrow [/mm] n ungerade fange mal wie folgt an:
[mm] n^{2}\text{ist ungerade}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2\text{ist kein Teiler von}n^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2\text{ist kein Teiler von}n*n
[/mm]
Kommst du jetzt erstmal weiter?
Marius
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