bestimmung von funktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) bestimmen sie alle funktionen [0,1] [mm] \to \IR, [/mm] so dass alle Partitionen von [0,1] gilt [mm] \overline{S}= \underline{S} [/mm] (Ober-bzw.Untersumme)
b) bestimmen sie alle funktionen [0,1] [mm] \to \IR, [/mm] so dass es eine Partition gibt von [0,1] mit [mm] \overline{S}= \underline{S} [/mm] |
bei a) muß halt gelten:
wählt man Partitionen P={ [mm] x_{0}=0< x_{1}= \bruch{1}{n}<...
[mm] \overline{S}= \summe_{i=1}^{n}f( \bruch{i}{n})*( \bruch{i}{n}-\bruch{i-1}{n})
[/mm]
[mm] \underline{S}= \summe_{i=1}^{n}f( \bruch{i-1}{n})*( \bruch{i}{n}-\bruch{i-1}{n})
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{i=1}^{n}f( \bruch{i-1}{n})=\summe_{i=1}^{n}f( \bruch{i}{n})
[/mm]
ich weiß nicht genau für welche funktionen es gilt.
bei b) hab ich noch keinen ansatz
wäre nett wenn mir jemand weiter helfen könnte
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
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Zu a) siehe hier.
Zu b) betrachte eine Partition
[mm]P: \ \ a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b[/mm]
Es seien [mm]\Delta x_{\nu}[/mm] die Intervallbreite von [mm]I_{\nu} = \left[ x_{\nu - 1} , x_{\nu} \right][/mm] und [mm]m_{\nu}, M_{\nu}[/mm] das Infimum bzw. Supremum von [mm]f[/mm] auf [mm]I_{\nu} \ \ (1 \leq \nu \leq n)[/mm].
Nun gilt ja stets: [mm]m_{\nu} \leq M_{\nu}[/mm], also auch [mm]m_{\nu} \, \Delta x_{\nu} \leq M_{\nu} \, \Delta x_{\nu}[/mm]. Wenn hier auch nur für ein [mm]\nu[/mm] das echte Kleinerzeichen steht, so folgt bereits
[mm]\sum_{\nu=1}^n~m_{\nu} \, \Delta x_{\nu} \ < \ \sum_{\nu=1}^n~M_{\nu} \, \Delta x_{\nu}[/mm]
Jetzt soll aber in der letzten Zeile für diese spezielle Partition das Gleichheitszeichen stehen. Was folgt daraus über [mm]m_{\nu}[/mm] und [mm]M_{\nu}[/mm] und damit für [mm]f[/mm] auf [mm]I_{\nu}[/mm]? Und wie sehen dann solche Funktionen aus, die das erfüllen?
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