bestimmtes Integral berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man berechne die Integrale a) [mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{x^{2}-3x+4}{\wurzel{x}} dx} [/mm] und b) [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{dx}{\wurzel{x} + \wurzel{x+1}}} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wir sollen ohne Taschenrechner und ohne Integrationsregeln rechnen, also nur mit der Kenntnis, dass [mm] \integral_{}^{}{x^{n} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+1} x^{n+1} [/mm] !
Ich habe hier aber als Ergebnisse bei a) ungefähr 2 raus und bei b) ungefähr 4,45. Ist das richtig?
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Hallo ArthosWing!
Da Du leider nicht verrätst, wie Du auf diese Ergebniss kommst, kann man Dir auch keinen Fehler zeigen.
Jedenfalls habe ich für beide Integrale andere Werte erhalten.
Aufgabe 1: Zerlege den Bruch in 3 Einzelbrüche und integriere nach dem Zusammenfassen mittels  Potenzgesetz nach der von Dir genannten Regel.
Aufgabe 2: erweitere den Bruch zunächst mit [mm] $\left( \ \wurzel{x} \ \red{-} \ \wurzel{x+1} \ \right)$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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ok also zu a) ich habe nun erstmal umgeformt, so dass:
[mm] \integral_{1}^{2}{x^{\bruch{3}{2}}-3x^{\bruch{1}{2}}+4x^{\bruch{-1}{2}} dx} [/mm] dann wäre doch eine Stammfunktion:
[mm] \bruch{2}{5}x^{\bruch{5}{2}}-2x^{\bruch{3}{2}}+8x^{\bruch{1}{2}} [/mm] muss ich nun [mm] x^{\bruch{1}{2}} [/mm] ausklammern?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:57 Mo 15.12.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> ok also zu a) ich habe nun erstmal umgeformt, so dass:
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> [mm]\integral_{1}^{2}{x^{\bruch{3}{2}}-3x^{\bruch{1}{2}}+4x^{\bruch{-1}{2}} dx}[/mm]
> dann wäre doch eine Stammfunktion:
>
> [mm]\bruch{2}{5}x^{\bruch{5}{2}}-2x^{\bruch{3}{2}}+8x^{\bruch{1}{2}}[/mm]
Korrekt. Das ist eine Stammfunktion F(x)
> muss ich nun [mm]x^{\bruch{1}{2}}[/mm] ausklammern?
Nein, jetzt berechne F(2)-F(1)=...
Marius
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> > dann wäre doch eine Stammfunktion:
>
> [mm]\bruch{2}{5}x^{\bruch{5}{2}}-2x^{\bruch{3}{2}}+8x^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> Korrekt. Das ist eine Stammfunktion F(x)
> muss ich nun [mm]x^{\bruch{1}{2}}[/mm] ausklammern?
> Nein, jetzt berechne F(2)-F(1)=...
> Marius
wie kann ich das nun schriftlich ausrechnen? Ich darf leider keinen Taschenrechner benutzen.
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Hallo ArthosWing,
> > > dann wäre doch eine Stammfunktion:
> >
> >
> [mm]\bruch{2}{5}x^{\bruch{5}{2}}-2x^{\bruch{3}{2}}+8x^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> > Korrekt. Das ist eine Stammfunktion F(x)
>
> > muss ich nun [mm]x^{\bruch{1}{2}}[/mm] ausklammern?
>
> > Nein, jetzt berechne F(2)-F(1)=...
>
> > Marius
>
> wie kann ich das nun schriftlich ausrechnen? Ich darf
> leider einen Taschenrechner benutzen.
Einfach die Grenzen einsetzen, das Ergebnis etwas zusammenfassen
und so stehen lassen.
Gruß
MathePower
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> [mm]\bruch{2}{5}x^{\bruch{5}{2}}-2x^{\bruch{3}{2}}+8x^{\bruch{1}{2}}[/mm]
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> > Korrekt. Das ist eine Stammfunktion F(x)
>
> > muss ich nun [mm]x^{\bruch{1}{2}}[/mm] ausklammern?
>
> > Nein, jetzt berechne F(2)-F(1)=...
>
> > Marius
>
> wie kann ich das nun schriftlich ausrechnen? Ich darf
> leider keinen Taschenrechner benutzen.
[mm] x^{\bruch{1}{2}} [/mm] auszuklammern ist tatsächlich eine gute Idee.
Und dann schreib [mm] \wurzel{x} [/mm] statt [mm] x^{\bruch{1}{2}} [/mm] !
Al-Chw.
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> Hallo ArthosWing!
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> Da Du leider nicht verrätst, wie Du auf diese Ergebniss
> kommst, kann man Dir auch keinen Fehler zeigen.
>
> Jedenfalls habe ich für beide Integrale andere Werte
> erhalten.
>
>
> Aufgabe 1: Zerlege den Bruch in 3 Einzelbrüche und
> integriere nach dem Zusammenfassen mittels Potenzgesetz
> nach der von Dir genannten Regel.
>
>
> Aufgabe 2: erweitere den Bruch zunächst mit [mm]\left( \ \wurzel{x} \ \red{-} \ \wurzel{x+1} \ \right)[/mm]
> .
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
>
also ich habe nochmal nachgerechnet und bei a) nun [mm] \wurzel{2}(\bruch{28}{5}) [/mm] - [mm] \bruch{32}{5} [/mm] raus, weiter kann ich glaube ich nicht zusammenfassen, da ohne Taschenrechner :)
und bei b) bin ich so weit gekommen: [mm] \integral_{0}^{1}{(-x^{\bruch{1}{2}} + (x+1)^{\bruch{1}{2}}) dx} [/mm] = - [mm] \bruch{2}{3}x^\bruch{3}{2}+ [/mm] ... hier weiß ich nicht
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Hallo ArthosWing,
> > Hallo ArthosWing!
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> >
> > Da Du leider nicht verrätst, wie Du auf diese Ergebniss
> > kommst, kann man Dir auch keinen Fehler zeigen.
> >
> > Jedenfalls habe ich für beide Integrale andere Werte
> > erhalten.
> >
> >
> > Aufgabe 1: Zerlege den Bruch in 3 Einzelbrüche und
> > integriere nach dem Zusammenfassen mittels Potenzgesetz
> > nach der von Dir genannten Regel.
> >
> >
> > Aufgabe 2: erweitere den Bruch zunächst mit [mm]\left( \ \wurzel{x} \ \red{-} \ \wurzel{x+1} \ \right)[/mm]
> > .
> >
> >
> > Gruß vom
> > Roadrunner
> >
> also ich habe nochmal nachgerechnet und bei a) nun
> [mm]\wurzel{2}(\bruch{28}{5})[/mm] - [mm]\bruch{32}{5}[/mm] raus, weiter kann
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ich glaube ich nicht zusammenfassen, da ohne Taschenrechner
> :)
>
> und bei b) bin ich so weit gekommen:
> [mm]\integral_{0}^{1}{(-x^{\bruch{1}{2}} + (x+1)^{\bruch{1}{2}}) dx}[/mm]
> = - [mm]\bruch{2}{3}x^\bruch{3}{2}+[/mm] ... hier weiß ich nicht
Gruß
MathePower
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bei b) bin ich so weit gekommen: [mm] \integral_{0}^{1}{(-x^{\bruch{1}{2}} + (x+1)^{\bruch{1}{2}}) dx} [/mm] = - [mm] \bruch{2}{3}x^\bruch{3}{2}+ [/mm] ... hier weiß ich nicht, kann mir bitte jemand weiterhelfen?
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Hallo ArthosWing,
> bei b) bin ich so weit gekommen:
> [mm]\integral_{0}^{1}{(-x^{\bruch{1}{2}} + (x+1)^{\bruch{1}{2}}) dx}[/mm]
> = - [mm]\bruch{2}{3}x^\bruch{3}{2}+[/mm] ... hier weiß ich nicht,
> kann mir bitte jemand weiterhelfen?
>
Wende hier die Regel
[mm] \integral_{}^{}{z^{n} dz} = \bruch{1}{n+1} z^{n+1} [/mm]
für [mm]z=x+1[/mm] an.
Das geht hier, weil x+1 linear ist.
Gruß
MathePower
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