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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 Do 17.02.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 1.
a) Beweise: [mm] $\limes a_{n}=0$ [/mm] und [mm] $(b_{n})_{n\in \IN}$ [/mm] beschränkt impliziert lim [mm] a_{n}b_{n}=0$
[/mm]
b) Sei [mm] $c\in \overline{R}$. [/mm] Finde Beispiele von Folgen [mm] $(a_{n})_{n\in \IN}$ [/mm] und [mm] $(b_{n})_{n\in \IN}$, [/mm] so dass [mm] $\limes a_{n}=0$, $\limes b_{n}=\infty$ [/mm] und [mm] $\lim a_{n}b_{n}=c$ [/mm] |
Hallo,
a) [mm] $\limes b_{n}=[c,d] \Rightarrow [c,d]\cdot [/mm] 0 = [mm] \limes a_{n}b_{n}=0$ [/mm] aber das stimmt wohl nicht weil ein Grenzwert [mm] (\limes b_{n}) [/mm] eindeutig sein müsste...
b)
[mm] $a_{n}=\frac{c}{n}$
[/mm]
[mm] $b_{n}=\frac{n}{c}$
[/mm]
[mm] $a_{n}b_{n}=1$ [/mm]
Stimmt das so?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:13 Do 17.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> 1.
> a) Beweise: [mm]$\limes a_{n}=0$[/mm] und [mm]$(b_{n})_{n\in \IN}$[/mm]
> beschränkt impliziert lim [mm]a_{n}b_{n}=0$[/mm]
> b) Sei [mm]c\in \overline{R}[/mm]. Finde Beispiele von Folgen
> [mm](a_{n})_{n\in \IN}[/mm] und [mm](b_{n})_{n\in \IN}[/mm], so dass [mm]\limes a_{n}=0[/mm],
> [mm]\limes b_{n}=\infty[/mm] und [mm]\lim a_{n}b_{n}=c[/mm]
>
> Hallo,
>
> a) [mm]\limes b_{n}=[c,d] \Rightarrow [c,d]\cdot 0 = \limes a_{n}b_{n}=0[/mm]
> aber das stimmt wohl nicht
genau, denn da oben steht eine merkwürdige und völlig sinnlose Anhäufung von nichtssagenden Symbolen !!
> weil ein Grenzwert [mm](\limes b_{n})[/mm]
> eindeutig sein müsste...
[mm] (b_n) [/mm] muß keinen grenzwert haben !!
[mm] (b_n) [/mm] ist beschränkt, also ex. ein c>0 mit: [mm] $|b_n| \le [/mm] c$ für jedes n.
Dann: [mm] $|a_n*b_n| \le c*|a_n| [/mm] für jedes n.
Hilft das ?
>
> b)
> [mm]a_{n}=\frac{c}{n}[/mm]
>
> [mm]b_{n}=\frac{n}{c}[/mm]
>
> [mm]a_{n}b_{n}=1[/mm]
>
> Stimmt das so?
Das ist wiede völlig kraus !
Ich nehme an, es ist [mm] $\overline{R}= \IR \cup \{- \infty, \infty \}$
[/mm]
Im Falle c [mm] \in \IR [/mm] kannst Du [mm] a_n=1/n [/mm] und [mm] b_n=cn [/mm] wählen.
Die anderen Fälle überlasse ich Dir
FRED
>
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
>
> Danke und Gruss
>
>
> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Do 17.02.2011 | | Autor: | kushkush |
> Hilft das ?
hoffentlich:
[mm] $\exists$ [/mm] $c [mm] \ge |b_{n}| [/mm] \ [mm] \wedge \exists [/mm] d [mm] \le |b_{n}| [/mm] \ [mm] \forall n\in \IN$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow 0=\limes a_{n} d\le \limes a_{n}b_{n} \le \limes a_{n}c=0$
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow \limes a_{n}b_{n}=0$
[/mm]
So richtig?
> Im Falle c kannst Du und wählen.
Das habe ich eigentlich gemeint...
> Die anderen Fälle überlasse ich Dir
Alle Fàlle wären ja:
[mm] $(a_{n})_{n\in \IN}=\frac{c^{x}}{n}$
[/mm]
[mm] $(b_{n})_{n\in \IN}=\frac{n}{c^{x-1}}$
[/mm]
für jedes $x [mm] \in \IN$
[/mm]
??
>FRED
Danke
Gruss
kushkush
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Hallo,
> > Hilft das ?
> hoffentlich:
>
> [mm]\exists[/mm] [mm]c \ge |b_{n}| \ \wedge \exists d \le |b_{n}| \ \forall n\in \IN[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 0=\limes a_{n} d\le \limes a_{n}b_{n} \le \limes a_{n}c=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \limes a_{n}b_{n}=0[/mm]
>
> So richtig?
Es hätte gereicht, wenn du wie von fred gezeigt, nur eine Konstante verwendet hättest.
>
>
> > Im Falle c kannst Du und wählen.
>
> Das habe ich eigentlich gemeint...
Was dann? Jedes c soll doch möglich sein.
>
> > Die anderen Fälle überlasse ich Dir
>
> Alle Fàlle wären ja:
>
> [mm](a_{n})_{n\in \IN}=\frac{c^{x}}{n}[/mm]
> [mm](b_{n})_{n\in \IN}=\frac{n}{c^{x-1}}[/mm]
>
> für jedes [mm]x \in \IN[/mm]
> ??
Wie? Die anderen beiden Fälle sind [mm] $c=\pm\infty$.
[/mm]
Für [mm] $a_n=\frac{1}{n}$, $b_n=n^2$ [/mm] ist [mm] $\lim_{n\to\infty}a_nb_n=\infty$
[/mm]
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 So 20.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo kamaleonti,
Dankeschön.
Gruss
kushkush
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