bedingter Erwartungswert < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Sa 15.11.2008 | | Autor: | AndyK |
| Aufgabe | | Seien [mm]X_{1}[/mm] und [mm]X_{2}[/mm] unabhängige [mm]\pi_{\lambda}[/mm]-Verteilte (Poisson-Verteilt mit Parameter [mm]\lambda[/mm]) Zufallsvariablen, und sei [mm]Y = X_{1} + X_{2}[/mm]. Man berechne [mm]P(X_{1} = i|Y)[/mm]. |
Hallo zusammen, also ich weiß, dass ich [mm]P(X_{1} = i|Y)[/mm] mit hilfe der bedingen Wahrscheinlichkeit ausrechnen kann. Also mit [mm]E(1_{\{X_{1}= i\}}|Y)[/mm]. Was mir hier Kopfschmerzen bereitet ist, dass [mm]Y[/mm] als Summe von [mm]X_{1}[/mm] und [mm]X_{2}[/mm] gegeben ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Sa 15.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Andreas,
zunaechst ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Es ist fuer [mm] $y=0,1,2,\dots$
[/mm]
[mm] $P(X_1=x\mid X_1+X_2=y)=\frac{P(X_1=x\cap X_1+X_2=y)}{P(X_1+X_2=y)}=\frac{P(X_1=x\cap x+X_2=y)}{P(X_1+X_2=y)}=\dots$
[/mm]
fuer [mm] $x=0,1,2,\dots,y$.
[/mm]
Kobra, uebernehmen Sie  Nutze aus, dass [mm] $Y=X_1+X_2$ [/mm] Poisson-verteilt ist mit
Parameter [mm] $2\lambda$. [/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Sa 15.11.2008 | | Autor: | AndyK |
Hallo Luis,
danke für deine Antwort!
Ich hab mir mal dazu ein paar gedanken gemacht:
Es ist ja so, dass in meiner Aufgabe das j (bei dir das y) nicht angegeben und das i (bei dir das x) fest ist. Also wird ja die Wahrscheinlichkeit davon abhängen, welchen Wert man für y verwendet. Aus meinem Skript und der Gleichung, die ich schon erwähnt hatte, hab ich mir dann mit deinem Hinweis folgendes überlegt:
[mm]P(X_1=i|Y) = E(1_{\{X_1=i\}}|Y) = \sum_{j=i}^{\infty}\frac{P(X_1=i,X_1+X_2=j)}{P(X_1+X_2=j)}1_{\{Y=j\}}=\sum_{j=i}^{\infty}\frac{P(X_1=i,X_2=j-i)}{P(X_1+X_2=j)}1_{\{Y=j\}}[/mm]
Da ja [mm]j \ge i[/mm] sein muss, habe ich den Startindex der Summe angepasst.
Wegen der Unabhängigkeit von [mm]X_1[/mm] und [mm]X_2[/mm] erhalte ich dann:
[mm]= \sum_{j=i}^{\infty}\frac{P(X_1=i)P(X_2=j-i)}{P(X_1+X_2=j)}1_{\{Y=j\}}[/mm]
Wenn ich nun verwende, dass [mm] $X_1$, $X_2\ \pi_\lambda$ [/mm] und [mm] $X_1+X_2\ \pi_{2\lambda}$-verteilt [/mm] sind, erhalte ich:
[mm] $=\sum_{j=i}^{\infty}\frac{e^{2\lambda}j!}{(2\lambda)^j}\cdot\frac{\lambda^i}{e^{\lambda}i!}\cdot\frac{\lambda^{j-i}}{e^{\lambda}(j-i)!}\cdot 1_{\{Y=j\}} [/mm] = [mm] \sum_{j=i}^{\infty}\frac{1}{2^j} [/mm] {j [mm] \choose [/mm] i} [mm] 1_{\{Y=j\}}$
[/mm]
Auftrag erfüllt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Sa 15.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Andreas,
leider ist mir deine Notation fremd. Ich interpretiere $1_{\{Y=j\}$ als
eine Indikatorvariable, deren konkrete Werte in der Form $ 1_{\{Y=j\}} (\mbox{irgendwas)$ geschrieben werden. Insbesondere ist mir nicht klar,
wie die Reihe
$\sum_{j=i}^{\infty}\frac{1}{2^j} {j \choose i} 1_{\{Y=j\}} $
berechnet werden soll.
Ich beziehe mich auf die m.W. gaengigere Defintion der bedingten
Wsk-Funktion, wie sie beispielsweise ![[]](/images/popup.gif) hier, Seite 21
zu finden ist. Sie bezieht sich auf [mm] $x,y\in\IR$, [/mm] und du kannst sie
begreifen als eine Funktion von $x$, sagen wir $g(x)$. Ersetzt du x durch
X, so erhaeltst du die Zufallsvariable $g(X)$. Ich denke, dass Analoges
in deiner Aufgabenstellung gemeint ist.
Deine Stratige sollte also sein:
1) Gib dir [mm] $i,j\in\IR$ [/mm] vor.
2) Bestimme [mm] $P(X_1=i\mid [/mm] Y=j)$
3) Begreife das Ergebnis aus 2) als eine Funktion von j, sagen wir $g(j)$
4) Die Zufallsvariable $g(Y)$ ist das gesuchte Ergebnis
Leider habe ich die Berechnung von [mm] $P(X_1=i\mid [/mm] Y=j)$ mit deiner
Erwartungswertformel nicht parat (wenngleich ich vermute, dass du damit
auch nicht allzu sattelfest bist). Ich fuerchte, einen anderen
Loesungsweg als den hier aufgezeigten, kann ich dir nicht bieten ...
vg Luis
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