b-adische bruch < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 Mi 14.12.2011 | | Autor: | Benz |
| Aufgabe | jeder b-adische bruch stellt eine cauchy-folge dar, konvergiert also gegen eine reelle zahl.
[mm] x_{n}:=\summe_{i=-k}^{n}a_{i}b^-^i [/mm] |
also ich hab viele fragen und hoffe das ich klarheit bekomme.
-ich muss ja zeigen das [mm] (x_{n})_{n\ge-k} [/mm] eine cauchy-folge ist, so weit so gut. Jetzt muss ich epsilon >0 vorgeben dazu gibt es ein [mm] N\in\IN [/mm] so gross, dass [mm] b^{-N}< [/mm] epsilon ist, jetzt meine Frage wie groß wähle ich denn mein N eigentlich, es wird überall nur geschrieben das es zu einem epsilon ein N gibt aber nie wie groß dass N jetzt ist.
-jetzt zum beweis [mm] \vmat{ x_{n}-x_{m} }= \summe_{i=m+1}^{n}a_{i}b^-^i\ge\summe_{i=m+1}^{n}(b-1)b^-^i
[/mm]
wie kommt man den auf das i=m+1 und (b-1) als ich das zum ersten mal gesehen habe war das wie ein zaubertrick und jetzt nach fast 3 stunden weiß ich immer noch nicht wie der trick funktioniert
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> jeder b-adische bruch stellt eine cauchy-folge dar,
> konvergiert also gegen eine reelle zahl.
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> [mm]x_{n}:=\summe_{i=-k}^{n}a_{i}b^-^i[/mm]
> also ich hab viele fragen und hoffe das ich klarheit
> bekomme.
>
> -ich muss ja zeigen das [mm](x_{n})_{n\ge-k}[/mm] eine cauchy-folge
> ist, so weit so gut. Jetzt muss ich epsilon >0 vorgeben
> dazu gibt es ein [mm]N\in\IN[/mm] so gross, dass [mm]b^{-N}<[/mm] epsilon
> ist, jetzt meine Frage wie groß wähle ich denn mein N
> eigentlich, es wird überall nur geschrieben das es zu
> einem epsilon ein N gibt aber nie wie groß dass N jetzt
> ist.
Wir dürfen doch annehmen, dass b eine natürliche Zahl mit
[mm] b\ge2 [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm] eine positive reelle Zahl ist. Nun kann man die
Ungleichung
$\ [mm] b^{-N}\ [/mm] <\ [mm] \varepsilon$
[/mm]
durch Logarithmieren auflösen:
$\ -N*log(b)\ <\ [mm] log(\varepsilon)$
[/mm]
$\ N\ >\ [mm] -\,\frac{log(\varepsilon)}{log(b)}$
[/mm]
Kleinstmögliches N wäre also der aufgerundete Wert des
letzteren Ausdrucks.
> -jetzt zum beweis [mm]\vmat{ x_{n}-x_{m} }= \summe_{i=m+1}^{n}a_{i}b^{-i}\ \red{\ge}\summe_{i=m+1}^{n}(b-1)b^{-i}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Da sollte doch ein [mm] \le [/mm] - Zeichen anstatt [mm] "\ge" [/mm] stehen !
> wie kommt man den auf das i=m+1 und (b-1) als ich das zum
> ersten mal gesehen habe war das wie ein zaubertrick und
> jetzt nach fast 3 stunden weiß ich immer noch nicht wie
> der trick funktioniert
Es ist $\ [mm] x_{m}=\summe_{i=-k}^{m}a_{i}*b^{-i} [/mm] $ und $\ [mm] x_{n}=\summe_{i=-k}^{n}a_{i}*b^{-i}$
[/mm]
Falls m<n , ist demzufolge
$\ [mm] x_n-x_m\ [/mm] =\ [mm] \summe_{i=m+1}^{n}a_{i}*b^{-i}$
[/mm]
Weil jedes einzelne [mm] a_i [/mm] in der Darstellung höchstens gleich b-1
ist (und alle [mm] b^{-i} [/mm] positiv), kann man dann gliedweise abschätzen:
$\ [mm] \summe_{i=m+1}^{n}a_{i}*b^{-i}\ \le\ \summe_{i=m+1}^{n}(b-1)*b^{-i}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:31 Do 15.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Wegen 0 [mm] \le a_i \le [/mm] b-1 ist die Folge [mm] (x_n) [/mm] beschränkt und wachsend.
FRED
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