b-adische Brüche < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Zusammen,
Ich habe an einigen Stellen Schwierigkeiten beim Beweis des Satzes zum Verhältnis von b-adischen Brüchen und reellen Zahlen. Wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte.
Satz (Forster : Analysis 1 : § 5 : Satz 5 : S. 44):
Sei [mm]b\in\mathbb{N}_{\ge 2}[/mm]. Dann läßt sich jede reelle Zahl in einen b-adischen Bruch entwickeln.
Beweis:
Es genügt den Satz für reelle Zahlen [mm]x\ge 0[/mm] zu beweisen. Es gibt mindestens eine natürliche Zahl [mm]m\![/mm] mit [mm]x < b^{\textcolor{red}{m+1}}[/mm]. Sei [mm]k\![/mm] die kleinste natürliche Zahl, so daß
[mm]0\le x < b^{k+1}[/mm]
Wir konstruieren jetzt durch vollständige Induktion eine Folge [mm]\left(a_{\nu}\right)_{\nu\ge -k}[/mm] natürlicher Zahlen [mm]0\le a_{\nu} < b[/mm], so daß für alle [mm]n\ge -k[/mm] gilt
[mm]x=\sum_{\nu=-k}^n{a_{\nu}b^{-\nu}}+\xi_n[/mm] mit [mm]0\le \xi_n < \textcolor{green}{b^{-n}}[/mm].
Wegen [mm]\textstyle\lim_{n\to\infty}{\xi_n}=0[/mm] folgt dann [mm]\textstyle x=\sum_{\nu=-k}^{\infty}{a_{\nu}b^{-\nu}}[/mm], also die Behauptung.
Induktionsanfang:
Sei [mm]n=-k\![/mm]. Es gilt [mm]0\le xb^{-k} < b[/mm], also gibt es eine ganze Zahl [mm]a_{-k}\in\{0,1,\dotsc,b-1\}[/mm] und eine reelle Zahl [mm]\delta\![/mm] mit [mm]0\le \delta < 1[/mm], so daß [mm]xb^{-k}=a_{-k}+\delta[/mm]. Mit [mm]\xi_{-k}:=\delta b^k[/mm] erhält man
[mm]x=a_{-k}\textcolor{blue}{b^{-k}} + \xi_{-k}[/mm] mit [mm]0\le\xi_{-k}< b^k[/mm].
Das ist die Behauptung für [mm]n=-k\![/mm].
[
Warum kann man bei dem roten Term nicht auch [mm]< b^m[/mm] schreiben?
Wie kommt man auf die grüne Abschätzung [mm]\xi_n < b^{-n}[/mm]?
Müßte beim blauen Term nicht [mm]b^k[/mm] stehen? Denn [mm]xb^{-k}=a_{-k}b^0+\delta b^0\Leftrightarrow xb^{-k+k} =a_{-k}b^{0+k}+\delta b^k[/mm].
Den Induktionsschritt verstehe ich leider noch gar nicht. Ich sehe zwar, daß er dem Induktionsanfang sehr ähnlich ist, aber das war's dann auch schon. Wo wird z.B. beim Induktionsschritt die Induktionsvoraussetzung benutzt?
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Induktionsschritt:
Wir betrachten [mm]n\leadsto n+1[/mm]. Es gilt [mm]0\le \xi_nb^{n+1} < b[/mm], also gibt es eine ganze Zahl [mm]a_{n+1}\in\{0,1,\dotsc,b-1\}[/mm] und eine reelle [mm]\delta\![/mm] mit [mm]0\le\delta < 1[/mm], so daß [mm]\xi_nb^{n+1}=a_{n+1}+\delta[/mm]. Mit [mm]\xi_{n+1}:=\delta b^{-n-1}[/mm] erhält man
[mm]x=\sum_{\nu=-k}^n{a_{\nu}b^{-\nu}}+\left(a_{n+1}+\delta\right)b^{-n-1}=\sum_{\nu=-k}^{n+1}{a_{\nu}b^{-\nu}}+\xi_{n+1}[/mm],
wobei [mm]0\le \xi_{n+1} < b^{-n-1}[/mm], q.e.d.
Danke für eure Hilfe!
Liebe Grüße
Karl
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> Satz (Forster : Analysis 1 : § 5 : Satz 5 : S. 44):
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> Sei [mm]b\in\mathbb{N}_{\ge 2}[/mm]. Dann läßt sich jede reelle Zahl
> in einen b-adischen Bruch entwickeln.
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> Beweis:
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> Es genügt den Satz für reelle Zahlen [mm]x\ge 0[/mm] zu beweisen. Es
> gibt mindestens eine natürliche Zahl [mm]m\![/mm] mit [mm]x < b^{\textcolor{red}{m+1}}[/mm].
> Sei [mm]k\![/mm] die kleinste natürliche Zahl, so daß
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> [mm]0\le x < b^{k+1}[/mm]
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> Wir konstruieren jetzt durch vollständige Induktion eine
> Folge [mm]\left(a_{\nu}\right)_{\nu\ge -k}[/mm] natürlicher Zahlen
> [mm]0\le a_{\nu} < b[/mm], so daß für alle [mm]n\ge -k[/mm] gilt
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> [mm]x=\sum_{\nu=-k}^n{a_{\nu}b^{-\nu}}+\xi_n[/mm] mit [mm]0\le \xi_n < \textcolor{green}{b^{-n}}[/mm].
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> Wegen [mm]\textstyle\lim_{n\to\infty}{\xi_n}=0[/mm] folgt dann
> [mm]\textstyle x=\sum_{\nu=-k}^{\infty}{a_{\nu}b^{-\nu}}[/mm], also
> die Behauptung.
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> Induktionsanfang:
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> Sei [mm]n=-k\![/mm]. Es gilt [mm]0\le xb^{-k} < b[/mm], also gibt es eine
> ganze Zahl [mm]a_{-k}\in\{0,1,\dotsc,b-1\}[/mm] und eine reelle Zahl
> [mm]\delta\![/mm] mit [mm]0\le \delta < 1[/mm], so daß [mm]xb^{-k}=a_{-k}+\delta[/mm].
> Mit [mm]\xi_{-k}:=\delta b^k[/mm] erhält man
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> [mm]x=a_{-k}\textcolor{blue}{b^{-k}} + \xi_{-k}[/mm] mit
> [mm]0\le\xi_{-k}< b^k[/mm].
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> Das ist die Behauptung für [mm]n=-k\![/mm].
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> Warum kann man bei dem roten Term nicht auch [mm]< b^m[/mm]
> schreiben?
Hallo,
ich will mal mein Glück versuchen:
Das könntest Du durchaus tun, z.B. so:
es gibt ein natürliches m mit [mm] x
==> es ist [mm] xb
Dieses "hoch m+1" will man haben, weil man später [mm] xb^{-k}
> Wie kommt man auf die grüne Abschätzung [mm]\xi_n < b^{-n}[/mm]?
ich will's an einem konkreten Dezimalbruch versuchen zu erklären.
Schauen wir die Dezimalbruchentwicklung für x [mm] =\bruch{85}{7} [/mm] an:
[mm] x_{-1}=1*10^1 [/mm] x - [mm] x_{-1}< 10^1
[/mm]
[mm] x_{0}=1*10^1+2*10^0 [/mm] x - [mm] x_{0}< 10^0
[/mm]
[mm] x_{1}=1*10^1+2*10^0+1*10^{-1} [/mm] x - [mm] x_{1}< 10^{-1}
[/mm]
[mm] x_{2}=1*10^1+2*10^0+1*10^{-1}+4*10^{-2} [/mm] x - [mm] x_{2}< 10^{-2}
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
> Müßte beim blauen Term nicht [mm]b^k[/mm] stehen?
Doch. Das ist ein Druckfehler.
Denn
> [mm]xb^{-k}=a_{-k}b^0+\delta b^0\Leftrightarrow xb^{-k+k} =a_{-k}b^{0+k}+\delta b^k[/mm].
>
> Den Induktionsschritt verstehe ich leider noch gar nicht.
> Ich sehe zwar, daß er dem Induktionsanfang sehr ähnlich
> ist, aber das war's dann auch schon. Wo wird z.B. beim
> Induktionsschritt die Induktionsvoraussetzung benutzt?
Ich schreib's mal so auf, wie ich es verstehe, das da unten finde ich auch anstrengend, wenn's mir auch das Gleiche zu sein scheint.
Nach I.V. (da ist sie schon!) haben wir eine Folge [mm] (a_n) [/mm] konstruiert mit
[mm] x=\underbrace{\sum_{\nu=-k}^n{a_{\nu}b^{-\nu}}}_{:=x_n}+\xi_n [/mm] mit [mm] 0\le \xi_n [/mm] < [mm] {b^{-n}}.
[/mm]
Man weiß also
[mm] x_n\le [/mm] x [mm] \le x_n +b^{-n}, [/mm] d.h. [mm] x\in [x_n, x_{n+1}[.
[/mm]
Jetzt teile ich dieses Intervall der Länge [mm] b^{-n} [/mm] in b gleiche Teile. In einem der entstehenden Intervalle
[mm] [x_n+\bruch{k}{b}b^{-n}, x_n+\bruch{k+1}{b}b^{-n}[, [/mm] k=0,...,b-1, liegt x.
Das entsprechende k wird unser [mm] a_{n+1}.
[/mm]
Wir haben also [mm] x\in [x_n+\bruch{a_{n+1}}{b}b^{-n}, x_n+\bruch{a_{n+1}+1}{b}b^{-n}[.
[/mm]
Also ist
[mm] x_n+a_{n+1}b^{-n-1}\le [/mm] x < [mm] x_n+a_{n+1}b^{-n-1} [/mm] + [mm] b^{-n-1},
[/mm]
d.h. [mm] 0\le [/mm] x- [mm] \summe_{i=-k}^{n+1}a_ib^{-i} [/mm] < [mm] b^{-n-1}.
[/mm]
Damit sind wir fertig. Wir haben das (n+1)-te Glied der Folge [mm] (a_n) [/mm] ordnungsgemäß gefunden und glaubhaft versichern können, daß der Fehler [mm] x-x_{n+1} [/mm] so kein ist wie erwünscht.
Gruß v. Angela
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> ]
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> Induktionsschritt:
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>
> Wir betrachten [mm]n\leadsto n+1[/mm]. Es gilt [mm]0\le \xi_nb^{n+1} < b[/mm],
> also gibt es eine ganze Zahl [mm]a_{n+1}\in\{0,1,\dotsc,b-1\}[/mm]
> und eine reelle [mm]\delta\![/mm] mit [mm]0\le\delta < 1[/mm], so daß
> [mm]\xi_nb^{n+1}=a_{n+1}+\delta[/mm]. Mit [mm]\xi_{n+1}:=\delta b^{-n-1}[/mm]
> erhält man
>
>
> [mm]x=\sum_{\nu=-k}^n{a_{\nu}b^{-\nu}}+\left(a_{n+1}+\delta\right)b^{-n-1}=\sum_{\nu=-k}^{n+1}{a_{\nu}b^{-\nu}}+\xi_{n+1}[/mm],
>
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> wobei [mm]0\le \xi_{n+1} < b^{-n-1}[/mm], q.e.d.
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> Danke für eure Hilfe!
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> Liebe Grüße
> Karl
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Hallo Angela,
Danke für die Hilfe! So wie du es erklärt hast, habe ich es jetzt verstanden. (Konnte dir vorher leider nicht schreiben. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") )
Nur ganz kurz noch ...
> Man weiß also
>
> [mm]x_n\le[/mm] x [mm]\le x_n +b^{-n},[/mm] d.h. [mm]x\in [x_n, x_{n+1}[.[/mm]
Hier sollte vermutlich [mm]x\in\left[x_n,x_n+b^{-n}\right][/mm] stehen?
Liebe Grüße
Karl
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> Nur ganz kurz noch ...
>
> > Man weiß also
> >
> > [mm]x_n\le[/mm] x [mm]\le x_n +b^{-n},[/mm] d.h. [mm]x\in [x_n, x_{n+1}[.[/mm]
>
>
> Hier sollte vermutlich [mm]x\in\left[x_n,x_n+b^{-n}\right][/mm]
> stehen?
Hallo,
da war ich in Gedanken wohl schon woanders...
Es muß heißen
[mm] x_n\le[/mm] [/mm] x [mm] [mm] \red{<} x_n +b^{-n}, [/mm] also
[mm] [x_n,x_n+b^{-n}[ [/mm] .
Gruß v. Angela
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